Zoran Skoda vektor

Vektori u ravnini i prostoru

Ako su $A$ i $B$ dvije različite točke ravnine ii prostora, tada je dužina $\overline{A B}$ s krajevima $A$ i $B$ skup svih točaka ravnine koje leže između $A$ i $B$ (za “ležati između” pogledaj stranicu aksiomi planimetrije: točka $T$ leži između točaka $A$ i $B$ ako je na istom pravcu kao $A$ i $B$ i po jednom od dva istaknuta geometrijska poretka na pravcu je ispred $B$, a prije $A$). Točke $A$ i $B$ zovemo vrhovi dužine $\overline{A B}$. Udaljenost $d(A,B)$ zovemo duljinom dužine $\overline{A B}$. Obično se ne smatra da je nuldužina $\overline{A A}$ dužina jer njeni krajevi nisu različiti.

Usmjerena dužina je dužina za koju znamo koji je njen vrh prvi, a koji drugi vrh. Točnije, usmjerena dužina u euklidskoj ravnini ili prostoru je dužina zajedno s podatkom koji je prvi, a koji je drugi vrh. Možemo reći da je usmjerena dužina dužina s zadanim uređajem na paru njenih vrhova. Ponekad usmjerenu dužinu zovemo i učvršćeni vektor i zamišljamo da je ona učvršćena u svojoj prvoj točki. Usmjerena dužina kojoj je $A$ prvi vrh, a $B$ drugi vrh označava se $\vec{A B}$. Za potrebe definicije vektora i operacije zbrajanja vektora, uz usmjerene dužine promatraju se i “nuldužine” $\overline{A A}$ na kojima nema orijentacije, niti su dužine, ali su korisne jer predstavljaju nulvektor $\vec{A A}$ (neutralni element za zbrajanje vektora). Sjetimo se da je polovište dužine jedinstvena točka koja je na istom pravcu kao i krajevi dužine i jednako udaljena od oba kraja. Po dodatnoj definiciji, pod polovištem nuldužine $\overline{AA}$ smatrat ćemo točku $A$.

Slobodni vektor $\vec{a}$ u euklidskoj ravnini ili prostoru je razred ekvivalencije usmjerenih dužina ili, izuzetno, nulvektor $\vec{0}$. Pri tome su dvije usmjerene dužine $\vec{A B}$ i $\vec{C D}$ ekvivalentne ako dužina $\overline{A D}$ (koja spaja prvi vrh prve usmjerene dužine i kraj druge usmjerene dužine) i dužina $\overline{B C}$ (koja spaja kraj druge usmjerene dužine i početak prve usmjerene dužine) imaju isto polovište. Drugim riječima, ukoliko su $A,B,C,D$ sve različite i nekolinearne točke, to znači da je četverokut $A B C D$ paralelogram. Tu dodajemo i slučaj nuldužina $\vec{A A}$ koje su sve u jednom razredu koji zovemo nulvektor $\vec{0}$. U notaciji za razrede ekvivalencije, vektor u kojem je usmjerena dužina $\vec{A B}$ pišemo $[\vec{A B}]$, no u kasnijoj praksi obično ipak izostavljamo znak za razred ekvivalencije $[]$. To znači da pišemo naprosto $\vec{A B}$ znajući u svakom slučaju mislimo li zaista na usmjerenu dužinu ili radije na njenu klasu ekvivalencije, a opširniju notaciju $[\vec{A B}]$ za razrede ekvivalencije koristimo kad želimo naglasiti razliku razreda $[\vec{A B}]$ i predstavnika $\vec{A B}$. Duljina dužine $\overline{A B}$ ne zavisi od izbora usmjerene dužine u razredu ekvivalencije $[\vec{A B}]$ (zaista ako su $\vec{A B}$ i $\vec{C D}$ ekvivalentne usmjerene dužine tada su dužine $\overline{A B}$ i $\overline{C D}$ nasuprotne stranice paralelograma, pa su sukladne). Tu duljinu zovemo duljina ili norma vektora $\vec{A B}$ i označavamo je $\|\vec{A B}\|$. Ako želimo istom definicijom obuhvatiti i nulvektore, možemo naprosto pisati $\| [\vec{A B}]\| = d(A,B)$. Svaki vektor duljine $1$ zovemo jedinični vektor ili ort.

Smjer je po definiciji razred ekvivalencije pravaca u ravnini ili prostoru po relaciji paralelnosti. Svakom vektoru možemo pridružiti smjer onih pravaca na kojima leže usmjerene dužine koje ga predstavljaju. Orijentacija ili smisao na pravcu je izbor jednog od dva istaknuta uređaja na pravcu. Ako je $\vec{A B}$ usmjerena dužina, gdje je $A\neq B$, tada samo po jednom od dva istaknuta uređaja na pravcu $A B$ vrijedi da je početni vrh prije drugog vrha, $A\lt B$. Taj uređaj zovemo orijentacijom ili smislom usmjerene dužine $\vec{A B}$. Svakom vektoru dakle možemo pridružiti orijentaciju na pravcima njegovog smjera. Dakle, svakom vektoru osim nulvektora možemo pridružiti duljinu, smjer i smisao. (Nulvektor ima duljinu $0$, a nema ni određeni smjer ni smisao.) Može se dokazati da vrijedi i obrat: slobodan vektor u ravnini ili prostoru određen je duljinom, smjerom i smislom, a za učvršćeni vektor moramo k tome još zadati i početnu točku. Za ma koja dva vektora istog smjera (tj. koji imaju predstavnike uzduž istog pravca) vrijedi $\vec{A B} = r \vec{A C}$ pa možemo govoriti o njihovom omjeru $r = \vec{A B}\colon \vec{A C}\in\mathbb{R}$.

Ako točka $A$ leži na pravcu $p$ koji je orijentiran, tj. na kojem je zadan uređaj $\leq$, mi smo automatski zadali polupravac s vrhom $A$. Zaista, taj polupravac $A p$ je skup svih $T\in p$ za koje vrijedi $A\leq T$.

Neka su $\vec{A B}$ i $\vec{A C}$ dvije usmjerene dužine s istim vrhom $A$. One dakle određuju polupravce $A p$ i $A q$ gdje je $B\in p$ i $C\in q$. Ta dva polupravca s istim vrhom $A$ određuju (orijentirani) kut $\angle p A q = \angle C A B$, s orijentacijom od $\vec{A C}$ do $\vec{A B}$. Ako su $\vec{A' C'}$ i $\vec{A' B'}$ njima ekvivalentni vektori, tj. $\vec{A' C'}\sim\vec{A C}$ i $\vec{A' B'}\sim\vec{A B}$ tada je kut $\angle C A B$ kongruentan kutu $\angle C' A' B'$ (i iste orijentacije), pa dva kuta imaju istu mjeru koju zovemo mjerom kuta (ili naprosto kutem) između vektora $[\vec{A B}]$ i $[\vec{A C}]$. Kako je mjera kuta definirana, to je definiran i njen kosinus $cos \angle C A B$. Skalarni umnožak vektora $\vec{A B}$ i $\vec{A C}$ je realni broj

$$\vec{A B}\bullet\vec{A C} := \|\vec{A B}\| \|\vec{A C} \| cos \angle C A B.$$

Neka je $p$ pravac i $A$ neka točka. Tada je okomita projekcija (ili ortogonalna projekcija) točke $A$ na pravac $p$ nožište jedinstvene okomice $q$ na $p$ koja prolazi točkom $A$. Drugim riječima, projekcija točke $A$ na $p$ je sjecište pravca $p$ i njene okomice kroz $A$. Projekcija usmjerene dužine $\vec{A B}$ na neki pravac $p$ koji nije nužno kroz $A$ je usmjerena dužina $\vec{A' B'}$ gdje su $A'$ i $B'$ projekcije točaka $A$ i $B$ na $p$. Projekcija slobodnog vektora $[\vec{A B}]$ je tada vektor $[\vec{A' B'}]$ i on ne zavisi od izbora predstavnika, a niti od pravca $p$ zadanog smjera.

Zbroj dva slobodna vektora je dan Chaslesovim pravilom trokuta. Naime, da bi zbrojili dva vektora $\vec{a}$ i $\vec{b}$ izaberemo neku točku $O$, zatim nađemo jedinstvenu točku $A$ takvu da je $\vec{a} = [\vec{O A}]$ i jedinstvenu točku $B$ takvu da je $\vec{b} = [\vec{A B}]$. Tada je $\vec{a}+\vec{b} = [\vec{O B}]$. Chaslovo pravilo zapisujemo kao formulom $\vec{O A} + \vec{A B} = \vec{O B}$. Matematičkom indukcijom možemo iz tog pravila izvesti poopćenu verziju, Chaslesovo pravilo mnogokuta, $\vec{O A_1} + \vec{A_1 A_2} +\ldots + \vec{A_{n-1} A_n} = \vec{O A_n}$ za svaki $n\in\mathbb{N}$ i svakih $(n+1)$ točaka $O, A_1,\ldots, A_n$.

Ako su vektori $\vec{a}$ i $\vec{b}$ dani predstavnicima $\vec{O A}$ i $\vec{B C}$ gdje je $B\neq A$ mi, naravno, moramo najprije translatirati usmjerenu dužinu $\vec{B C}$ za vekor $\vec{B A}$ u novu dužinu $\vec{A E}$ tako da nova početna točka bude $A$ (Tada je $[\vec{O A}] + [\vec{B C}] = [\vec{O A}] + [\vec{A E}] = [\vec{O E}]$ po Chaslesu). Dakle $\vec{B C} \sim \vec{A E}$ tako da je $B C E A$ paralelogram. Drugim riječima, točka $E$ je točka $A$ translatirana za $\vec{B C}$.

Alternativno možemo zbrajati učvršćene vektore s istom početnom točkom pravilom paralelograma. Naime ako su $\vec{O E}$ i $\vec{O F}$ dvije usmjerene dužine s istim početnim vrhom $O$, tada je $\vec{O G}$ njihov zbroj onda i samo onda ako dužine $\overline{O G}$ i $\overline{E F}$ imaju zajedničko polovište. Ukoliko su $\vec{O E}$ i $\vec{O F}$ različitoog smjera, uvjet da se $\overline{O G}$ i $\overline{E F}$ dijele polovište (kako su tada to dijagonale četverokuta $O F G E$ različitog smjera možemo reći da se međusobno raspolavljaju), po definiciji to znači da je $O F G E$ paralelogram. To nam daje i drugu konstrukciju točke $G$ šestarom i jednobridnim ravnalom. Naime, nađemo polovište dužine $\overline{E F}$ i nazovimo ga $T$. Tada točku $G$ na pravcu $O T$ dobijemo tako da u šestar uzmemo $d(T,O)$ i presiječemo kružnicu tog polumjera oko $T$ s pravcem $O T$. To će dati dva sjecišta pravca i kružnice oko $T$, s jedne strane je to $O$, a s druge je to $G$.

Zbrajanje vektora je asocijativno, komutativno ima neutralni element (a to je nulvektor) i svaki element $\vec{a}$ ima suprotni element $-\vec{a}$. To znači da skup vektora s obzirom na zbrajanje čini algebarsku strukturu koju zovemo Abelova grupa.

Neka je $r$ realni broj i $\vec{O A}$ vektor. Tada je po definiciji vektor $r\cdot\vec{O A}$ nulvektor ako $r = 0$ ili $\vec{O A}$ nulvektor, a inače jedinstveni vektor istog smjera kao i $\vec{O A}$ čija duljina je $r\cdot d(O, A)$ i koji ima isti smisao kao i $\vec{A B}$ kad je $r \gt 0$ odnosno njemu suprotni smisao kad je $r\lt 0$. Ako je $r\gt 0$ po aksiomu $III-4$ postoji jedinstvena točka $T$ takva da je $d(O,T) = r\cdot d(O, A)$ i koja je na pravcu $O A$. Tada je dakle $\vec{O T} = r\cdot\vec{O A}$. Time smo objasnili množenje vektora realnim brojem pri čemu je rezultat vektor. To množenje nekad zovemo množenje skalarom. Koristimo ga npr. kod definicije homotetije.

Slobodni vektori se dakle mogu zbrajati i množiti realnim brojem. Te operacije zadovoljavaju potrebne aksiome tako da Abelova grupa slobodnih vektora čini dio strukture vektorskog prostora nad poljem $\mathbb{R}$ realnih brojeva.

Peto poglavlje (vidi pdf poglavlja na merlinu) Horvatićeve knjige Linearna algebra posvećeno je vektorima u ravnini i prostoru (npr. izdanje Tehničke knjige).

• usporedite i wikipedija: vektor

Pravokutni koordinatni sustav objašnjen pomoću vektora

(Kartezijev ili) pravokutni koordinatni sustav u ravnini određen je izborom jedne točke $O$ koju zovemo ishodište koordinatnog sustava i uređenog para $(\vec{i},\vec{j})$ dvije jedinične usmjerene dužine $\vec{i} = \vec{O A}$ i $\vec{j} = \vec{O B}$ učvršćene u ishodištu i takve da su pravac $O A$ zvan apscisa i pravac $O B$ zvan ordinata međusobno okomiti. Okomite projekcije ma kojeg vektora $\vec{v}$ na apscisu i ordinatu zovemo vektorskim komponentama vektora $\vec{v}$. Vektorske komponente možemo zapisati kao $v_x \vec{i}$ i $v_y \vec{j}$ gdje su $v_x$ i $v_y$ realni brojevi koje zovemo komponente vektora $\vec{v}$. Vrijedi $\vec{v} = v_x \vec{i} + v_y \vec{j}$.

Ako je $P$ točka u ravnini u kojoj je odabran koordinatni sustav $(O,\vec{i},\vec{j})$ onda možemo zapisati $\vec{O P} = x_P \vec{i} + y_P \vec{j}$. Realni brojevi $x_P$ i $y_P$ zovemo apscisa i ordinata točke $P$ i skupno koordinate točke $P$. Preslikavanje iz ravnine u $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R}\times\mathbb{R}$ dano s $(x_P, y_P)$ zove se koordinatizacija ravnine i bijekcija je ravnine na skup parova realnih brojeva, tj. Kartezijev kvadrat skupa $\mathbb{R}$.

Slično tome, u pravokutni sustav u prostoru je određen ishodištem $O$ i trojkom vektora $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ takvih da su svaka dva međusobno okomiti. Koordinatizacija prostora $P\mapsto (x_P, y_P, z_P)$ je bijekcija s prostora na $\mathbb{R}^3$.

Ako geometriju radimo u terminima aksioma zovemo je sintetičkom. Ukoliko radimo u terminima koordinata točaka i komponenti vektora, zovemo je analitičkom geometrijom.

Vektori u općenitim vektorskim prostorima

Općenitije, (apstraktni) vektor je element Abelove grupe vektora nekog apstraktnog vektorskog prostora, pogledajte stranicu vektorski prostor iz matematike 4. Vezana je i stranica skalarni umnožak (vektora).

category: zadarmat2, zadarmat3, zadarmat4