Zoran Skoda
vektor

Vektori u ravnini i prostoru

Ako su AA i BB dvije različite točke ravnine ii prostora, tada je dužina AB¯\overline{A B} skup svih točaka ravnine koje leže između AA i BB (za “ležati između” pogledaj stranicu aksiomi planimetrije). Točke AA i BB zovemo vrhovi dužine AB¯\overline{A B}. Udaljenost d(A,B)d(A,B) zovemo duljinom dužine AB¯\overline{A B}. Obično se ne smatra da je AA¯\overline{A A} dužina.

Usmjerena dužina je dužina za koju znamo koji je njen vrh prvi, a koji drugi vrh. Točnije, usmjerena dužina u euklidskoj ravnini ili prostoru je dužina zajedno s podatkom koji je prvi, a koji je drugi vrh. Možemo reći da je usmjerena dužina dužina s zadanim uređajem na paru njenih vrhova. Ponekad usmjerenu dužinu zovemo i učvršćeni vektor i zamišljamo da je ona učvršćena na svojoj prvoj točki. Usmjerena dužina u kojoj je AA prvi vrh, a BB drugi vrh označava se i s AB\vec{A B}. Za potrebe definicije vektora, uz usmjerene dužine promatraju se i nuldužine AA\vec{A A} na kojima nema orijentacije, niti su dužine ali su korisne.

Slobodni vektor a\vec{a} u euklidskoj ravnini ili prostoru je razred ekvivalencije usmjerenih dužina ili, izuzetno, nulvektor 00. Pri tome su dvije usmjerene dužine AB\vec{A B} i CD\vec{C D} ekvivalentne ako se dužina AD¯\overline{A D} (koja spaja prvi vrh prve usmjerene dužine i kraj druge usmjerene dužine) i dužina BC¯\overline{B C} (koja spaja kraj druge usmjerene dužine i početak prve usmjerene dužine) međusobno raspolavljaju. Drugim riječima, četverokut ABCDA B C D je paralelogram. Tu dodajemo i slučaj nuldužina AA\vec{A A} koje su sve u jednom razredu koji zovemo nulvektor 0\vec{0}. Prema notaciji za razrede ekvivalencije, vektor u kojem je usmjerena dužina AB\vec{A B} zovemo [AB][\vec{A B}], no u praksi obično izostavljamo znak za razred ekvivalencije [][] i pišemo naprosto AB\vec{A B}. Duljina dužine AB¯\overline{A B} ne zavisi od izbora usmjerene dužine u razredu ekvivalencije [AB][\vec{A B}] (zaista ako su AB\vec{A B} i CD\vec{C D} ekvivalentne usmjerene dužine tada su dužine AB¯\overline{A B} i CD¯\overline{C D} nasuprotne stranice paralelograma, pa su sukladne). Tu duljinu zovemo duljina ili norma vektora AB\vec{A B} i označavamo je AB\|\vec{A B}\|. Ako je duljina vektora 11 onda ga zovemo jedinični vektor ili ort.

Sjetimo se da je smjer razred ekvivalencije paralelnih pravaca u ravnini ili prostoru. Svakom vektoru možemo pridružiti smjer onih pravaca na kojima leže usmjerene dužine koje ga predstavljaju. Orijentacija ili smisao na pravcu je izbor jednog od dva istaknuta uređaja na pravcu. Ako je AB\vec{A B} usmjerena dužina, gdje je ABA\neq B, tada samo po jednom od dva istaknuta uređaja na pravcu ABA B vrijedi da je početni vrh prije drugog vrha, A<BA\lt B. Taj uređaj zovemo orijentacijom ili smislom usmjerene dužine AB\vec{A B}. Svakom vektoru dakle možemo pridružiti orijentaciju na pravcima njegovog smjera. Dakle, svakom vektoru koji nije nulvektor možemo pridružiti duljinu, smjer i smisao. Može se dokazati da vrijedi i obrat: slobodan vektor u ravnini ili prostoru određen duljinom, smjerom i smislom, a za učvršćeni vektor moramo zadati k tome još i početnu točku. Ako dva vektora imaju isti smjer (tj. imaju predstavnike uzduž istog pravca), tada vrijedi AB=rAC\vec{A B} = r \vec{A C} pa možemo govoriti o njihovom omjeru r=AB:ACr = \vec{A B} : \vec{A C}\in\mathbb{R}.

Ako je AA točka koja leži na pravcu pp koji je orijentiran, tj. na kojem je zadan uređaj <\lt , to je isto kao da smo zadali polupravac s vrhom AA. Zaista, taj polupravac ApA p je skup svih TpT\in p za koje vrijedi ATA\leq T.

Neka su AB\vec{A B} i AC\vec{A C} dvije usmjerene dužine s istim vrhom AA. Tada oni određuju polupravce ApA p i AqA q gdje BpB\in p i CqC\in q. Ta dva polupravca s istim vrhom AA čine dakle neki (orijentirani) kut pAq=CAB\angle p A q = \angle C A B, kut od AC\vec{A C} do AB\vec{A B}. Ako su AC\vec{A' C'} i AB\vec{A' B'} druga dva vektora koja su njima ekvivalentni, tj. ACAC\vec{A' C'}\sim\vec{A C} i ABAB\vec{A' B'}\sim\vec{A B} tada je kut CAB\angle C A B kongruentan kutu CAB\angle C' A' B', pa dva kuta imaju istu mjeru koju zovemo mjerom kuta (ili naprosto kutem) između vektora [AB][\vec{A B}] i [AC][\vec{A C}]. Kako je mjera kuta definirana to je definiran i njen kosinus cosCABcos \angle C A B. Skalarni umnožak vektora AB\vec{A B} i AC\vec{A C} je realni broj

ABAC:=ABACcosCAB. \vec{A B}\bullet\vec{A C} := \|\vec{A B}\| \|\vec{A C} \| cos \angle C A B.

Neka je pp pravac i AA neka točka. Tada je okomita projekcija (ili ortogonalna projekcija) točke AA na pravac pp nožište jedinstvene okomice qq na pp koja prolazi kroz AA. Drugim riječima projekcija točke AA na pp je sjecište pravca pp i njene okomice kroz AA. Projekcija usmjerene dužine AB\vec{A B} na neki pravac pp koji nije nužno kroz AA je usmjerena dužina AB\vec{A' B'} gdje su AA' i BB' projekcije točaka AA i BB na pp. Projekcija slobodnog vektora [AB][\vec{A B}] je tada vektor [AB][\vec{A' B'}] i on ne zavisi od izbora predstavnika, a niti od pravca pp zadanog smjera.

Zbroj dva slobodna vektora je dan Chaslesovim pravilom trokuta. Naime da bi zbrojili dva vektora a\vec{a} i b\vec{b} izaberemo neku točku OO, zatim nađemo jedinstvenu točku AA takvu da je a=[OA]\vec{a} = [\vec{O A}] i jedinstvenu točku BB takvu da je b=[AB]\vec{b} = [\vec{A B}]. Tada je a+b=[OB]\vec{a}+\vec{b} = [\vec{O B}]. Chaslovo pravilo pišemo OA+AB=OB\vec{O A} + \vec{A B} = \vec{O B}. Matematičkom indukcijom možemo iz tog pravila izvesti poopćeno Chaslesovo pravilo mnogokuta OA 1+A 1A 2++A n1A n=OA n\vec{O A_1} + \vec{A_1 A_2} +\ldots + \vec{A_{n-1} A_n} = \vec{O A_n} za svaki nn\in\mathbb{N} i svakih (n+1)(n+1) točaka O,A 1,,A nO, A_1,\ldots, A_n.

Ako su vektori a\vec{a} i b\vec{b} dani predstavnicima OA\vec{O A} i BC\vec{B C} gdje je BAB\neq A mi naravno moramo najprije translatirati usmjerenu dužinu BC\vec{B C} za vekor BA\vec{B A} u novu dužinu AE\vec{A E} tako da nova početna točka bude AA (Tada je [OA]+[BC]=[OA]+[AE]=[OE][\vec{O A}] + [\vec{B C}] = [\vec{O A}] + [\vec{A E}] = [\vec{O E}] po Chaslesu). Dakle BCAE\vec{B C} \sim \vec{A E} tako da je BCEAB C E A paralelogram. Drugim riječima, točka EE je točka AA translatirana za BC\vec{B C}.

Alternativno možemo zbrajati učvršćene vektore pravilom paralelograma. Naime ako su OE\vec{O E} i OF\vec{O F} dvije usmjerene dužine s istim početnim vrhom OO tada je OG\vec{O G} njihov zbroj onda i samo onda ako je OFGEO F G E paralelogram, tj. ako se dužine OG¯\overline{O G} i EF¯\overline{E F} međusobno raspolavljaju. To nam daje i drugu konstrukciju točke GG šestarom i jednobridnim ravnalom. Naime, nađemo polovište dužine EF¯\overline{E F} i nazovimo ga TT. Tada točku GG na pravcu OTO T dobijemo tako da u šestar uzmemo d(T,O)d(T,O) i presiječemo kružnicu tog polumjera oko TT s pravcem OTO T. To će dati dva sjecišta pravca i kružnice oko TT, s jedne strane je to OO, a s druge je to GG.

Zbrajanje vektora je asocijativno, komutativno ima neutralni element (a to je nulvektor) i svaki element a\vec{a} ima suprotni element a-\vec{a}. To znači da skup vektora s obzirom na zbrajanje čini algebarsku strukturu koju zovemo Abelova grupa.

Neka je rr realni broj i OA\vec{O A} vektor. Tada je po definiciji vektor rOAr \vec{O A} nulvektor ako r=0r = 0 ili OA\vec{O A} nulvektor, a inače jedinstveni vektor istog smjera kao i OA\vec{O A} čija duljina je rd(O,A)r\cdot d(O, A) i koji ima isti smisao kao i AB\vec{A B} kad je r>0r \gt 0 odnosno njemu suprotni smisao kad je r<0r\lt 0. Ako je r>0r\gt 0 po aksiomu III4III-4 postoji jedinstvena točka TT takva da je d(O,T)=rd(O,A)d(O,T) = r\cdot d(O, A) i koja je na pravcu OAO A. Tada je dakle OT=rOA\vec{O T} = r\cdot\vec{O A}. Time smo objasnili množenje vektora realnim brojem pri čemu je rezultat vektor. To množenje nekad zovemo množenje skalarom. Koristimo ga npr. kod definicije homotetije.

Slobodni vektori se dakle mogu zbrajati i množiti realnim brojem. Te operacije zadovoljavaju potrebne aksiome tako da Abelova grupa slobodnih vektora čini dio strukture vektorskog prostora nad poljem \mathbb{R} realnih brojeva.

  • usporedite i wikipedija: vektor.

Pravokutni koordinatni sustav objašnjen pomoću vektora

(Kartezijev ili) pravokutni koordinatni sustav u ravnini određen je izborom jedne točke OO koju zovemo ishodište koordinatnog sustava i uređenog para (i,j)(\vec{i},\vec{j}) dvije jedinične usmjerene dužine i=OA\vec{i} = \vec{O A} i j=OB\vec{j} = \vec{O B} učvršćene u ishodištu i takve da su pravac OAO A zvan apscisa i pravac OBO B zvan ordinata međusobno okomiti. Okomite projekcije ma kojeg vektora v\vec{v} na apscisu i ordinatu zovemo vektorskim komponentama vektora v\vec{v}. Vektorske komponente možemo zapisati kao v xiv_x \vec{i} i v yjv_y \vec{j} gdje su v xv_x i v yv_y realni brojevi koje zovemo komponente vektora v\vec{v}. Vrijedi v=v xi+v yj\vec{v} = v_x \vec{i} + v_y \vec{j}.

Ako je PP točka u ravnini u kojoj je odabran koordinatni sustav (O,i,j)(O,\vec{i},\vec{j}) onda možemo zapisati OP=x Pi+y Pj\vec{O P} = x_P \vec{i} + y_P \vec{j}. Realni brojevi x Px_P i y Py_P zovemo apscisa i ordinata točke PP i skupno koordinate točke PP. Preslikavanje iz ravnine u 2=×\mathbb{R}^2 = \mathbb{R}\times\mathbb{R} dano s (x P,y P)(x_P, y_P) zove se koordinatizacija ravnine i bijekcija je ravnine na skup parova realnih brojeva, tj. Kartezijev kvadrat skupa \mathbb{R}.

Slično tome, u pravokutni sustav u prostoru je određen ishodištem OO i trojkom vektora i,j,k\vec{i}, \vec{j}, \vec{k} takvih da su svaka dva međusobno okomiti. Koordinatizacija prostora P(x P,y P,z P)P\mapsto (x_P, y_P, z_P) je bijekcija s prostora na 3\mathbb{R}^3.

Ako geometriju radimo u terminima aksioma zovemo je sintetičkom. Ukoliko radimo u terminima koordinata zovemo je analitičkom, vidi analitička geometrija.

Vektori u općenitim vektorskim prostorima

Općenitije (apstraktni) vektor je element Abelove grupe vektora nekog apstraktnog vektorskog prostora, pogledajte stranicu vektorski prostor iz matematike 4. Vezana je i stranica skalarni umnožak.

Last revised on June 28, 2018 at 09:24:56. See the history of this page for a list of all contributions to it.