Zoran Skoda
sličnost

Preslikavanje sličnosti je preslikavanje ff iz ravnine u ravninu (ili iz prostora u prostor) takvo da postoji konstanta λ>0\lambda\gt 0 (koju zovemo koeficijent sličnosti) takva da je d(f(A),f(B))=λd(A,B)d(f(A),f(B)) = \lambda\cdot d(A,B) za sve točke AA i BB.

Alternativno, preslikavanje sličnosti možemo definirati preko sličnosti trokuta. Dva su trokuta po drugoj definiciji slična ako imaju iste kuteve, a njihove su stranice propocionalne, tj. α=α\alpha = \alpha', β=β\beta = \beta', γ=γ\gamma = \gamma' te a/a=b/b=c/c=:λ>0a'/a = b'/b = c'/c =:\lambda\gt 0. Dva su geometrijska lika (ili tijela) slična ako postoji preslikavanje sličnosti ravnine (ili prostora) koje šalje bijektivno jedan lik (ili tijelo) u drugi točku po točku. Ispada da su obje definicije ekvivalentne za trokut.

Teorem. Dva su trokuta slična akko postoji preslikavanje sličnosti koje šalje jedan trokut u drugi trokut.

Sličnost (ili preslikavanje sličnosti) je svaka bijekcija ravnine g:MMg:M\to M takva da svaki trokut ravnine šalje u trokut koji mu je sličan.

Svaka homotetija je primjer sličnosti. Svaka izometrija je primjer sličnosti (za λ=1\lambda = 1). Svaka sličnost može se opisati kao kompozicija izometrije i homotetije. Svaka sličnost koja ima čvrstu točku OO (tj. točku OO takvu da je g(O)=Og(O) = O) kompozicija je rotacije oko točke OO i neke homotetije h O,λh_{O,\lambda} s centrom OO i koeficijentnom homotetije λ\lambda (koji je plus ili minus koeficijent sličnosti).

Sada dajemo analogone četiri teorema o sukladnosti trokuta. Umjesto jednakosti stranica kod teorema o sukladnosti trokuta, ovdje imamo proporcionalnost.

Teorem. Da bi dva trokuta bila slična, dovoljno je da su im stranice proporcionalne, a/a=b/b=c/ca'/a = b'/b = c'/c.

Teorem. Dva su trokuta slična ako imaju dva jednaka kuta (tada automatski imaju sva tri jednaka kuta).

Teorem. Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne b/b=c/cb'/b = c'/c, a kut između njih jednak, α=α\alpha' = \alpha.

Teorem. Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne b/b=c/cb'/b = c'/c, a kut nasuprot većoj stranici jednak (ako je bb veći od cc tada je taj kut β\beta).

Za sličnost kažemo da je prava sličnost ili direktna sličnost ako ne mijenja orijentaciju, tj. možemo je prikazati kao kompoziciju parnog broja osnih simetrija i homotetije h O,λh_{O,\lambda} s pozitivnim koeficijentom homotetije λ\lambda.

category: zadarmat2

Last revised on June 29, 2018 at 07:17:59. See the history of this page for a list of all contributions to it.