Zoran Skoda sličnost

Preslikavanje sličnosti je preslikavanje $f$ iz ravnine u ravninu (ili iz prostora u prostor) takvo da postoji konstanta $\lambda\gt 0$ (koju zovemo koeficijent sličnosti) takva da je $d(f(A),f(B)) = \lambda\cdot d(A,B)$ za sve točke $A$ i $B$.

Alternativno, preslikavanje sličnosti možemo definirati preko sličnosti trokuta. Dva su trokuta po drugoj definiciji slična ako imaju iste kuteve, a njihove su stranice propocionalne, tj. $\alpha = \alpha'$, $\beta = \beta'$, $\gamma = \gamma'$ te $a'/a = b'/b = c'/c =:\lambda\gt 0$. Dva su geometrijska lika (ili tijela) slična ako postoji preslikavanje sličnosti ravnine (ili prostora) koje šalje bijektivno jedan lik (ili tijelo) u drugi točku po točku. Ispada da su obje definicije ekvivalentne za trokut.

Teorem. Dva su trokuta slična akko postoji preslikavanje sličnosti koje šalje jedan trokut u drugi trokut.

Sličnost (ili preslikavanje sličnosti) je svaka bijekcija ravnine $g:M\to M$ takva da svaki trokut ravnine šalje u trokut koji mu je sličan.

Svaka homotetija je primjer sličnosti. Svaka izometrija je primjer sličnosti (za $\lambda = 1$). Svaka sličnost može se opisati kao kompozicija izometrije i homotetije. Svaka sličnost koja ima čvrstu točku $O$ (tj. točku $O$ takvu da je $g(O) = O$) kompozicija je rotacije oko točke $O$ i neke homotetije $h_{O,\lambda}$ s centrom $O$ i koeficijentnom homotetije $\lambda$ (koji je plus ili minus koeficijent sličnosti).

Sada dajemo analogone četiri teorema o sukladnosti trokuta. Umjesto jednakosti stranica kod teorema o sukladnosti trokuta, ovdje imamo proporcionalnost.

Teorem. Da bi dva trokuta bila slična, dovoljno je da su im stranice proporcionalne, $a'/a = b'/b = c'/c$.

Teorem. Dva su trokuta slična ako imaju dva jednaka kuta (tada automatski imaju sva tri jednaka kuta).

Teorem. Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne $b'/b = c'/c$, a kut između njih jednak, $\alpha' = \alpha$.

Teorem. Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne $b'/b = c'/c$, a kut nasuprot većoj stranici jednak (ako je $b$ veći od $c$ tada je taj kut $\beta$).

Za sličnost kažemo da je prava sličnost ili direktna sličnost ako ne mijenja orijentaciju, tj. možemo je prikazati kao kompoziciju parnog broja osnih simetrija i homotetije $h_{O,\lambda}$ s pozitivnim koeficijentom homotetije $\lambda$.

category: zadarmat2