Zoran Skoda stat-test-130221

Za zadatke bez rješenja vidi pdf. Za testove od prošlog roka vidite stat-test-300121,stat-test-300121CD.

Zadaci s djelomičnim rješenjima

$1.$ U kutiji imamo 3 crne i 3 bijele kuglice.

a) Ako biramo jednu kuglu nasumce i nakon toga je vratimo u kutiju i tako 5 puta, koja je vjerojatnost da će u ta 5 puta točno 3 puta biti izabrana bijela kuglica, a dva puta crna ?

b) ako nakon uzimanja NE vraćamo kuglicu u kutiju i tako redom biramo 3 kuglice, koja je vjerojatnost da ćemo izvaditi 2 crne i jednu bijelu ?

Rješenje. a) (5 izaberi 2) puta $(3/6)^3$ puta $(3/6)^2$

$\binom{5}{2} = 10$

$0.5^5 = 0.03125$ pa je rješenje 10 puta 0.03125 je P=0.03125

b) $P(ccb) = \frac{3}{6}\frac{2}{5}\frac{3}{3} = 18/120 = 3/20$

$P(cbc) = \frac{3}{6}\frac{3}{5}\frac{2}{4} = 18/120 = 3/20$

$P(bbc) = \frac{3}{6}\frac{2}{5}\frac{3}{4} = 18/120 = 3/20$

Ukupno $18/120+18/120+18/120 = 54/120 = 9/20$

$2.$ a) Na koliko načina možemo poredati 6 ljudi u niz ?

6! = 720

b) Na koliko načina možemo poredati u niz šest kuglica, od čega 4 crne i 2 bijele u niz, ako pri brojenju načina ne razlikujemo kuglice iste boje ?

$\frac{6!}{4!2!} = 15$ To je isto kao i odabrati koje 2 su bijele, dakle $\binom{6}{2}$.

ccccbb,

cccbcb, cccbbc,

ccbccb, ccbcbc, ccbbcc,

cbcccb, cbccbc, cbcbcb, cbbcc,

bccccb, bcccbc, bccbcb, bcbccc, bbcccc

$3.$ a) Ako prosječno bolestan čovjek kihne dva puta u sat vremena kolika je vjerojatnost da kihne dvaput u samo 50 minuta ? b) Kolika je vjerojatnost da će kihnuti točno jednom u cijela 2 sata ?

Rj. To je Poissonova razdioba.

a) $m = 2$, $\lambda = r t = (2/60)\cdot 50 = 100/60 = 5/3$

$$P = \frac{\lambda^m}{m!}e^{-\lambda} = \frac{25/18}{2!}e^{-5/16} = \frac{25}{18}2.7182818^{-5/3} = 0.262$$

b) $m = 1$, $\lambda = 4$

$$P = \frac{4^1}{1!}e^{-4} = \frac{4}{1}e^{-4} = 0.07326$$

$4.$ Lovac vježba gađanje glinenih golubova. U prosjeku pogađa jednom u tri pokušaja.

a) ako lovac gađa 5 puta koja je vjerojatnost da će pogoditi točno tri glinena goluba ?

b) koja je vjerojatnost da će pogoditi najviše dva put (dakle dva puta ili manje puta) ?

Rješenje. To je očito binomna razdioba. U svakom pokušaju šansa je 1/3 da pogodi i 2/3 da promaši.

a) $\binom{5}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^3\left(\frac{2}{3}\right)^2 = 40/3^5 = 40/243 =0.164609$

b) $P(0) = (2/3)^5 = 2^5/3^5 = 32/243$

$P(1) = \binom{5}{1}\left(\frac{1}{3}\right)^1\left(\frac{2}{3}\right)^4 = 80/243$

$P(2) = \binom{5}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac{2}{3}\right)^3 = 80/243$

$P(\leq 2) = P(0)+P(1)+P(2) = (32+80+80)/243$

$P(\leq 2) = 192/243 = 0.79012$

$5.$ Petero ljudi igra tombolu gdje ima 10 srećki, a dvije dobivaju. Ako svatko uzima jednu srećku, koja je vjerojatnost da obje nagrade budu izvučene ?

broj povoljnih je (5 izaberi 2) = $\binom{5}{2} = \frac{5\cdot 4}{2\cdot 1} = 10$

broj mogućih je (10 izaberi 2) = 45

vjerojatnost je 10/45 = 0.222222 ili 22.2222%

$6.$ Iz tvornice cipela izlazi 20 posto cipela od prave kože i 80 posto od umjetne kože. Ako su cipele od prave kože, vjerojatnost da je proizvedena cipela s greškom je 6 posto, a ako je od umjetne 10 posto.

a) Ako nasumce izaberemo cipelu iz te tvornice i ona je ispravna, koja je vjerojatnost da je od umjetne kože ?

b) Ako smo nasumce izabrali tri cipele i ne znamo jesu li ispravne ili nisu, koja je vjerojatnost da su sve tri od istog tipa materijala ?

Rj. a) Označimo događaje

pr izvučemo pravu kožu P(pr)=0.2

umj umjetnu kožu P(umj) = 0.8

gr cipela s greškom, isp cipela ispravna, to je suprotni događaj od gr. P(isp) = 1-P(gr), a tako i s uvjetima

P(gr|pr) = 0.06

P(isp|pr) = 0.94

P(gr|umj) = 0.10

P(isp|umj) = 0.90

a) $P(umj|isp) = \frac{P(umj\cap isp)}{P(isp)}$

Bayesova formula

$$P(umj|isp) = \frac{P(isp|umj)P(umj)}{P(isp|umj)P(umj)+P(isp|pr)P(pr)}$$

$$P(umj|isp) = \frac{0.90\cdot 0.8}{0.90\cdot 0.8+0.94\cdot 0.2} = \frac{0.72}{0.72+0.188} = \frac{0.72}{0.908} = 0.79295$$

b) $P(pr)^3+P(umj)^3 = 0.2^3+0.8^3 = 0.008+0.512 = 0.52$ ili 52%

Taj drugi dio je binomna formula, da je 0 ili 3 pr.

$7.$ U jatu je 10 ptica kojima mjerimo raspon krila. Tri imaju raspon po 38 cm, tri po 41 cm i četiri imaju 43 cm. Nađi srednju vrijednost, varijancu (srednje kvadratno odstupanje) i standardnu devijaciju. Konačne rezultate zaokružiti na jednu decimalu (npr. 65.3), a međurezultate računati do barem dvije decimale iza decimalne točke.

$$\array{ &f_i &x_i &f_i x_i &x_i - \bar{x} &f_i(x_i - \bar{x})^2\\ 1 &3 &38 &114 &-2.9 &25.23\\ 2 &3 &41 &123 &0.1 &0.03\\ 3 &4 &43 &172 &2.1 &17.64\\ sum &10 &n/a &409 &n/a &42.9\\ sum/n &1 & &40.9 & &4.29\\ }$$

$n = \sum_i f_i = 10$.

$\bar{x} = \frac{\sum_i x_i f_i}{n} = 40.9$

$Var(x) = \sum_i f_i(x_i - \bar{x})^2/n = 4.29$

$\sigma_x = \sqrt{Var(x)} = 2,0712$

$8.$ Tri puta mjerimo dvije slučajne veličine, $x$ i $y$ i nalazimo ove parove vrijednosti $(x,y)$: $(16, 2.3)$, $(10, 5.3)$, $(7, 7.9)$. Nađi koeficijent korelacije $\mathrm{Kor}(x,y)$, kovarijancu $\mathrm{Cov}(x,y)$ i jednadžbu pravca linearne regresije.

srednje vrijednosti

$\bar{x} = 11.000$

$\bar{y} = 5.1667$

$\mathrm{Kor}(x,y) = -0.9889$

$\mathrm{Cov}(x,y) = -8.4667$

y - 5.1667 = -0.6048 (x- 11.000)

y = -0.6048 x + 11.82