Zoran Skoda stat-test-130221

Za zadatke bez rješenja vidi pdf. Za testove od prošlog roka vidite stat-test-300121,stat-test-300121CD.

Zadaci s djelomičnim rješenjima

1.1. U kutiji imamo 3 crne i 3 bijele kuglice.

a) Ako biramo jednu kuglu nasumce i nakon toga je vratimo u kutiju i tako 5 puta, koja je vjerojatnost da će u ta 5 puta točno 3 puta biti izabrana bijela kuglica, a dva puta crna ?

b) ako nakon uzimanja NE vraćamo kuglicu u kutiju i tako redom biramo 3 kuglice, koja je vjerojatnost da ćemo izvaditi 2 crne i jednu bijelu ?

Rješenje. a) (5 izaberi 2) puta (3/6) 3(3/6)^3 puta (3/6) 2(3/6)^2

(52)=10\binom{5}{2} = 10

0.5 5=0.031250.5^5 = 0.03125 pa je rješenje 10 puta 0.03125 je P=0.03125

b) P(ccb)=362533=18/120=3/20P(ccb) = \frac{3}{6}\frac{2}{5}\frac{3}{3} = 18/120 = 3/20

P(cbc)=363524=18/120=3/20P(cbc) = \frac{3}{6}\frac{3}{5}\frac{2}{4} = 18/120 = 3/20

P(bbc)=362534=18/120=3/20P(bbc) = \frac{3}{6}\frac{2}{5}\frac{3}{4} = 18/120 = 3/20

Ukupno 18/120+18/120+18/120=54/120=9/2018/120+18/120+18/120 = 54/120 = 9/20

2.2. a) Na koliko načina možemo poredati 6 ljudi u niz ?

6! = 720

b) Na koliko načina možemo poredati u niz šest kuglica, od čega 4 crne i 2 bijele u niz, ako pri brojenju načina ne razlikujemo kuglice iste boje ?

6!4!2!=15\frac{6!}{4!2!} = 15 To je isto kao i odabrati koje 2 su bijele, dakle (62)\binom{6}{2}.

ccccbb,

cccbcb, cccbbc,

ccbccb, ccbcbc, ccbbcc,

cbcccb, cbccbc, cbcbcb, cbbcc,

bccccb, bcccbc, bccbcb, bcbccc, bbcccc

3.3. a) Ako prosječno bolestan čovjek kihne dva puta u sat vremena kolika je vjerojatnost da kihne dvaput u samo 50 minuta ? b) Kolika je vjerojatnost da će kihnuti točno jednom u cijela 2 sata ?

Rj. To je Poissonova razdioba.

a) m=2m = 2, λ=rt=(2/60)50=100/60=5/3\lambda = r t = (2/60)\cdot 50 = 100/60 = 5/3

P=λ mm!e λ=25/182!e 5/16=25182.7182818 5/3=0.262 P = \frac{\lambda^m}{m!}e^{-\lambda} = \frac{25/18}{2!}e^{-5/16} = \frac{25}{18}2.7182818^{-5/3} = 0.262

b) m=1m = 1, λ=4\lambda = 4

P=4 11!e 4=41e 4=0.07326 P = \frac{4^1}{1!}e^{-4} = \frac{4}{1}e^{-4} = 0.07326

4.4. Lovac vježba gađanje glinenih golubova. U prosjeku pogađa jednom u tri pokušaja.

a) ako lovac gađa 5 puta koja je vjerojatnost da će pogoditi točno tri glinena goluba ?

b) koja je vjerojatnost da će pogoditi najviše dva put (dakle dva puta ili manje puta) ?

Rješenje. To je očito binomna razdioba. U svakom pokušaju šansa je 1/3 da pogodi i 2/3 da promaši.

a) (53)(13) 3(23) 2=40/3 5=40/243=0.164609\binom{5}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^3\left(\frac{2}{3}\right)^2 = 40/3^5 = 40/243 =0.164609

b) P(0)=(2/3) 5=2 5/3 5=32/243P(0) = (2/3)^5 = 2^5/3^5 = 32/243

P(1)=(51)(13) 1(23) 4=80/243P(1) = \binom{5}{1}\left(\frac{1}{3}\right)^1\left(\frac{2}{3}\right)^4 = 80/243

P(2)=(52)(13) 2(23) 3=80/243P(2) = \binom{5}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac{2}{3}\right)^3 = 80/243

P(2)=P(0)+P(1)+P(2)=(32+80+80)/243P(\leq 2) = P(0)+P(1)+P(2) = (32+80+80)/243

P(2)=192/243=0.79012P(\leq 2) = 192/243 = 0.79012

5.5. Petero ljudi igra tombolu gdje ima 10 srećki, a dvije dobivaju. Ako svatko uzima jednu srećku, koja je vjerojatnost da obje nagrade budu izvučene ?

broj povoljnih je (5 izaberi 2) = (52)=5421=10\binom{5}{2} = \frac{5\cdot 4}{2\cdot 1} = 10

broj mogućih je (10 izaberi 2) = 45

vjerojatnost je 10/45 = 0.222222 ili 22.2222%

6.6. Iz tvornice cipela izlazi 20 posto cipela od prave kože i 80 posto od umjetne kože. Ako su cipele od prave kože, vjerojatnost da je proizvedena cipela s greškom je 6 posto, a ako je od umjetne 10 posto.

a) Ako nasumce izaberemo cipelu iz te tvornice i ona je ispravna, koja je vjerojatnost da je od umjetne kože ?

b) Ako smo nasumce izabrali tri cipele i ne znamo jesu li ispravne ili nisu, koja je vjerojatnost da su sve tri od istog tipa materijala ?

Rj. a) Označimo događaje

pr izvučemo pravu kožu P(pr)=0.2

umj umjetnu kožu P(umj) = 0.8

gr cipela s greškom, isp cipela ispravna, to je suprotni događaj od gr. P(isp) = 1-P(gr), a tako i s uvjetima

P(gr|pr) = 0.06

P(isp|pr) = 0.94

P(gr|umj) = 0.10

P(isp|umj) = 0.90

a) P(umj|isp)=P(umjisp)P(isp)P(umj|isp) = \frac{P(umj\cap isp)}{P(isp)}

Bayesova formula

P(umj|isp)=P(isp|umj)P(umj)P(isp|umj)P(umj)+P(isp|pr)P(pr) P(umj|isp) = \frac{P(isp|umj)P(umj)}{P(isp|umj)P(umj)+P(isp|pr)P(pr)}
P(umj|isp)=0.900.80.900.8+0.940.2=0.720.72+0.188=0.720.908=0.79295 P(umj|isp) = \frac{0.90\cdot 0.8}{0.90\cdot 0.8+0.94\cdot 0.2} = \frac{0.72}{0.72+0.188} = \frac{0.72}{0.908} = 0.79295

b) P(pr) 3+P(umj) 3=0.2 3+0.8 3=0.008+0.512=0.52P(pr)^3+P(umj)^3 = 0.2^3+0.8^3 = 0.008+0.512 = 0.52 ili 52%

Taj drugi dio je binomna formula, da je 0 ili 3 pr.

7.7. U jatu je 10 ptica kojima mjerimo raspon krila. Tri imaju raspon po 38 cm, tri po 41 cm i četiri imaju 43 cm. Nađi srednju vrijednost, varijancu (srednje kvadratno odstupanje) i standardnu devijaciju. Konačne rezultate zaokružiti na jednu decimalu (npr. 65.3), a međurezultate računati do barem dvije decimale iza decimalne točke.

f i x i f ix i x ix¯ f i(x ix¯) 2 1 3 38 114 2.9 25.23 2 3 41 123 0.1 0.03 3 4 43 172 2.1 17.64 sum 10 n/a 409 n/a 42.9 sum/n 1 40.9 4.29 \array{ &f_i &x_i &f_i x_i &x_i - \bar{x} &f_i(x_i - \bar{x})^2\\ 1 &3 &38 &114 &-2.9 &25.23\\ 2 &3 &41 &123 &0.1 &0.03\\ 3 &4 &43 &172 &2.1 &17.64\\ sum &10 &n/a &409 &n/a &42.9\\ sum/n &1 & &40.9 & &4.29\\ }

n= if i=10n = \sum_i f_i = 10.

x¯= ix if in=40.9\bar{x} = \frac{\sum_i x_i f_i}{n} = 40.9

Var(x)= if i(x ix¯) 2/n=4.29Var(x) = \sum_i f_i(x_i - \bar{x})^2/n = 4.29

σ x=Var(x)=2,0712\sigma_x = \sqrt{Var(x)} = 2,0712

8.8. Tri puta mjerimo dvije slučajne veličine, xx i yy i nalazimo ove parove vrijednosti (x,y)(x,y): (16,2.3)(16, 2.3), (10,5.3)(10, 5.3), (7,7.9)(7, 7.9). Nađi koeficijent korelacije Kor(x,y)\mathrm{Kor}(x,y), kovarijancu Cov(x,y)\mathrm{Cov}(x,y) i jednadžbu pravca linearne regresije.

srednje vrijednosti

x¯=11.000\bar{x} = 11.000

y¯=5.1667\bar{y} = 5.1667

Kor(x,y)=0.9889\mathrm{Kor}(x,y) = -0.9889

Cov(x,y)=8.4667\mathrm{Cov}(x,y) = -8.4667

y - 5.1667 = -0.6048 (x- 11.000)

y = -0.6048 x + 11.82

Last revised on March 24, 2021 at 06:10:20. See the history of this page for a list of all contributions to it.