Zoran Skoda stat-test-300121CD

Za C i D grupe vidi stat-test-300121, a za slijedeći rok stat-test-130221. Rješenja testa od 30.01.2021. akad g 2020/1 termin od 16 sati, grupe C i D. Za neriješeni test pogledaj pdf.

Grupa C

C1. U bubnju imamo 3 crne i 3 bijele kuglice.

a) Ako biramo jednu kuglu nasumce i nakon toga je vratimo u bubanj i tako 5 puta, koja je vjerojatnost da će u ta 5 puta točno 3 puta biti izabrana bijela kuglica, a dva puta crna ?

b) ako nakon uzimanja NE vraćamo kuglicu u bubanj i tako redom biramo 3 kuglice, koja je vjerojatnost da ćemo izvaditi 2 crne i jednu bijelu ?

Rješenje. a) (5 izaberi 2) puta $(3/6)^3$ puta $(3/6)^2$

$\binom{5}{2} = 10$

$0.5^5 = 1/32$ pa je rješenje 10/32 = 0.3125

b) $P(ccb) = \frac{3}{6}\frac{2}{5}\frac{3}{3} = 18/120 = 3/20$

$P(cbc) = \frac{3}{6}\frac{3}{5}\frac{2}{4} = 18/120 = 3/20$

$P(bbc) = \frac{3}{6}\frac{2}{5}\frac{3}{4} = 18/120 = 3/20$

Ukupno $18/120+18/120+18/120 = 54/120 = 9/20 = 0.45$

C2. Na meniju su dvije juhe, dva glavna jela i tri deserta.

a) Na koliko načina se može sastaviti ručak u kojem su 4 stavke s menija, a da je barem jedno glavno jelo uključeno ?

b) Na koliko načina možemo sastaviti ručak od tri stavke u kojem je jedna juha, jedno glavno jelo i jedan desert ?

Rj. a) broj = b1+b2

b1 = broj ručkova s jednim glavnim jelom i tri ostale stavke

glavno jelo izaberem na jedan od dva načina

i izaberem 3 stavke od 5 jela koja nisu glavna (shvaćamo da su sve stavke različite)

Dakle, $b1 = 2\cdot \binom{5}{3} = 2\cdot\frac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot 2\cdot 1} = 20$

b2 = broj ručkova s dva glavna jela i još dvije stavke

glavna jela mogu izabrati na samo jedan način (2 od 2)

i još dvije stavke od 2+3 = 5 preostalih stavki, dakle 5 izaberi 2

b2 = 10

ukupno pod a) odgovor je 30 načina

b) juha jedna od dvije na 2 izbora

jedno glavno jelo od dva, 2 izbora

jedan od 3 deserta, 3 izbora

Kombinacija na 2 puta 2 puta 3 načina, dakle 12 načina

C3. a) Ako prosječno prođe cestom kamion jednom u 3 minute, kakva je vjerojatnost da će proći točno 1 kamion u zadane 3 minute ? b) Kolika je vjerojatnost da će proći točno 3 kamiona u danih 6 minuta ?

Rj. Ovo je Poissonova razdioba

$$P(m) = \frac{\lambda^m}{m!}e^{-\lambda}$$

a) $m = 1$ prolaz, $\lambda = 1/3\cdot 3 = 1$

$$P = e^{-1} = 0.36787944$$

b) $m = 3$, $\lambda = 1/3 * 6 = 2$

$$P = \frac{2^3}{3!}e^{-3} = \frac{8}{6}e^{-3} = 0.0663827578$$

C4. Lovac vježba gađanje glinenih golubova. U prosjeku pogađa jednom u tri pokušaja.

a) ako lovac gađa 5 puta koja je vjerojatnost da će pogoditi točno dva glinena goluba ?

b) koja je vjerojatnost da će pogoditi BAREM 3 puta ?

Rj. ovo je binomna razdioba $P(i) = \binom{n}{i}p^i (1-p)^{n-i}$ gdje je $p = 1/3$ i $q=2/3$.

a) $P(2) = \binom{5}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{80}{243}$

b) $P = P(3)+P(4)+P(5)$

$P(3) = \binom{5}{3}(1/3)^3(2/3)^2 = 40/243$

$P(4) = \binom{5}{4}(1/3)^4(2/3)^1 = 10/243$

$P(5) = \binom{5}{5}(1/3)^5 = 1/243$

$P = (40+10+1)/243 = 51/243 = 0.2098765$

C5. Petero ljudi igra tombolu gdje ima 14 srećki, a dvije dobivaju. a) Ako svako uzima jednu srećku, koja je vjerojatnost da obje nagrade budu izvučene ? b) ako je od pet ljudi troje žena, kolika je vjerojatnost da obje nagrade budu izvučene i to da ih u oba slučaja izvuku žene ?

Rj. Rješenje. Sva izvlačenja su jednako vjerojatna. Ukupno ima $\binom{14}{5}$ mogućnosti tombole za ekipu 5 ljudi gdje nam poredak nije bitan nego tko je što izvukao.

Dakle pod a) je vjerojatnost

povoljni: 2 dobitne od 2 i 3 gubitne srećke od 12

mogući: 5 srećki (14 izaberi 5) načina

$$P_a = \frac{\binom{12}{3}\binom{2}{2}}{\binom{14}{5}}$$

$$P_a= \frac{\frac{12\cdot 11\cdot 10}{3\cdot 2\cdot 1}}{\frac{14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$$

Dvostruki razlomak kratimo unakrsno, pa ostane samo

$$P_a = \frac{5\cdot 4}{14\cdot 13} = 0.10989$$

Možemo taj rezultat dobiti i lakše. Kako svatko izvuče jednu srećku, gubitne srećke samo popunjavaju rupe, a ne gledaju se pa brojimo samo kamo odu dobitne srećke, među 5 ljudi ili među 9 fantomskih mjesta koja nisu kupljena.

Dakle, mogućih je (14 izaberi 2), a povoljnih (5 izaberi 2) pa je omjer

$$P_a = \frac{\binom{5}{2}}{\binom{14}{2}} = 0.10989$$

Pod b) tu vjerojatnost samo pomnožimo s uvjetnom vjerojatnošću $P(z|d)$ da ako su dvije od 6 dobitne da to dobiju žene kojih je 3 od 5 ljudi. To se može izračunati na razne načine. Na primjer možemo reći da prvo gledamo gdje ide prva od dobitnih srećki, a ta ide među 3 od 5, dakle 60% šanse, a druga ide među 2 od 4, dakle 50% šanse

$$P(z|d) = 0.6\cdot 0.5 = 0.3$$

pa je $P_b = 0.3\cdot 0.10989 = 0.032967$.

Mogli smo rješavati dio b) i odjednom, na primjer da nas uopće ne zanima što dobiju muškarci i samo riješimo kao pod a) ali gledamo samo 3 žene, pa je

$$P_b = \frac{\binom{13}{1}\binom{2}{2}}{\binom{15}{3}} = \frac{13}{\frac{15\cdot 14\cdot 13}{3\cdot 2\cdot 1}} = \frac{1}{5\cdot 7} = \frac{1}{35} = 0.0285714$$

Rj. $P(2\,izv)$ = broj povoljnih/broj mogućih

a) broj povoljnih (5 izaberi 2)

broj mogućih (14 izaberi 2)

$$P(2\,izv) = \frac{\binom{5}{2}}{\binom{14}{2}} = \frac{10}{91}$$

b) Da bi dobile dvije žene od tri sa srećkama imamo (3 izaberi 2) = 3 načina

od ukupno (14 izaberi 2) = 91 načina

Dakle $3/91$.

Drugi način: vjerojatnost da netko od pet ljudi dobije je 10/91. Ako znamo da su dva od tih 5 dobila, trebamo vidjeti uvjetnu vjerojatno da su to žene, a to je (3 izaberi 2) žene od (5 izaberi 2) čovjeka, dakle u 3/10 slučajeva. Rezultat je dakle $3/10 \cdot 10/91 = 3/91$

C6. Iz tvornice kaputa izlazi puno škart robe. U prosjeku je jedan od 4 tanjih kaputa s greškom i jedan od 6 debljih kaputa s greškom. (Tanji i debeli kaputi se jednako često proizvode.)

a) ako smo nasumce kupili kaput i on ima grešku, koja je vjerojatnost da je to zapravo deblji kaput ?

b) ako smo nasumce kupili dva kaputa, koja je vjerojatnost da ni jedan od ta dva nema grešku ?

Rješenje. Najprije označimo događaje i podatke iz teksta.

kupljeni kapet tanji T, P(T) = 0.5

deblji D, P(D) = 0.5

s greškom G, P(G)

P(G|T) = 1/4

P(G|D) = 1/6

a) P(D|G) po Bayesu gdje su D i T dva komplementarna kanala

$$P(D|G) = \frac{P(G|D)P(D)}{P(G|D)P(D)+P(G|T)P(T)}$$

$$P(D|G) = \frac{1/6\cdot 0.5}{1/6\cdot 0.5+1/4\cdot 0.5} = \frac{1/12}{5/24} = \frac{2}{5} = 0.4$$

b) Za jedno biranje,

$P(G) = P(G|T)P(T) + P(G|D)P(D) = 1/4\cdot 0.5 + 1/6\cdot 0.5 = 10/48 = 5/24 = 0.208333$

Za dva biranja dakle, koja su nezavisna

$$P(GG) = P(G)\cdot P(G) = \frac{5}{24}\cdot\frac{5}{24} = \frac{25}{576}= 0.04340278$$

C7. U jatu je 9 golubova kojima mjerimo raspon krila. Tri imaju raspon po 25 cm, četiri po 28 cm i dva goluba po 30 cm. Nađi medijan, srednju vrijednost, varijancu (srednje kvadratno odstupanje) i standardnu devijaciju.

$$\array{ &f_i &x_i &f_i x_i &x_i - \bar{x} &f_i(x_i - \bar{x})^2\\ 1 &3 &25 & 75 &-2.444 &17.925926\\ 2 &4 &28 &112 &0.555 &1.234567\\ 3 &2 &30 &60 &0.555 &13.061728\\ sum &9 &n/a &247 &n/a &32.222222\\ sum/n &1 & &27.444 & &3.580246\\ }$$

srednja vrijednost $\bar{x} = 27.444$

Varijanca $Var(x) = 3.580246$

standardna devijacija $\sigma_x = 1.8922$

medijana 28

C8. Tri puta mjerimo dvije slučajne veličine, $x$ i $y$ i nalazimo ove parove vrijednosti $(x,y)$: $(11, 2.3)$, $(17, 5.8)$, $(29, 8.2)$. Nađi kovarijancu $\mathrm{Cov}(x,y)$ i jednadžbu pravca linearne regresije.

srednje vrijednosti

$\bar{x} = 19$

$\bar{y} = 5.4333$

kovarijanca $Cov(x,y) = 17.3333$

koeficijent korelacije (ne traži se) $r = Kor(x,y) = \frac{Cov(x,y)}{\sigma_x\cdot\sigma_y}= 0.9561$

koeficijent regresije $\frac{Cov(x,y)}{Var(x)}=0.3095$

$$y - \bar{y} = \frac{Cov(x,y)}{\sigma_x\cdot\sigma_y}(x-\bar{x})$$

y - 5.4333 = 0.30952 (x-19.000)

y = 0.3095 x-0.4476

Grupa D

Na svakoj stranici napišite svoje ime i prezime, a kod rješavanja zadataka i broj zadatka i dijela zadatka ako ima a,b,c.

D1. Janko sadi male redove po 5 tulipana. Ima crvene, žute i bijele tulipane u velikoj količini.

a) Koliko različitih redaka može napraviti (redoslijed ima veze za estetiku, pa CCŽBB nije isto što BBŽCC ili BŽCBC) ?

b) ako je pomiješao lukovice i ne zna koja je koja i svih lukovica ima jednako mnogo, koja je vjerojatnost da mu se desi da kod sadnje prvog reda svih 5 lukovica u retku ispadnu jednake boje ?

Rj. a) 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243

b) povoljnih ima 3 kombinacije u kojima je svih 5 cvjetova iste boje

mogućih je 243

P = 3/243 = 1/81 = 0.012345679

D2. U urni imamo 3 zelene i 2 plave kuglice.

a) Ako biramo jednu kuglu nasumce i nakon toga je vratimo u urnu i tako 4 puta, koja je vjerojatnost da će u ta 4 puta točno dva puta biti izabrana zelena kuglica ?

b) ako nakon uzimanja NE vraćamo kuglicu u urnu i tako redom biramo 3 kuglice, koja je vjerojatnost da ćemo izvaditi 2 zelene i jednu plavu ?

Rj. a) binomna razdioba s p=2/5, q=3/5

$\binom{4}{2}(2/5)^2 (3/5)^2 = 216/625 = 0.3456$

b) imamo tri slučaja s obzirom na redoslijed uzimanja kuglica

$$P(zzp) =\frac{3}{5}\frac{2}{4}\frac{2}{3}= 12/60 = 0.2$$

Dakle, u prvom izvlačenju 3 od 5 kuglica su zelene, pa šansa da prva kuglica bude zelene je tri petine. Sad je jedna kuglica manje i to zelena, pa u drugom koraku imam 2 zelene od 4 kuglice i u zadnjem izvlačim plavu, a imamo 2 plave od tri kuglice. Sad preostala dva slučaja.

$P(zpz) = \frac{3}{5}\frac{2}{4}\frac{2}{3} = 12/60 = 0.2$

$P(pzz) = \frac{2}{5}\frac{3}{4}\frac{2}{3} = 12/60 = 0.2$

$P = P(zzp)+P(zpz)+P(pzz) = 0.2+0.2+0.2 =0.6$

D3. a) Ako prosječno padne jedna šljiva u vrtu jednom u 5 minuta, kakva je vjerojatnost da će pasti 3 u istih zadanih 5 minuta ? b) Kolika je vjerojatnost da će pasti 2 šljive u zadanih 8 minuta ?

Rj. Poissonova razdioba.

$$P(m) = \frac{\lambda^m}{m!}e^{-m}$$

a) $r = 1/5$, $t = 5$, $\lambda = 1$, $m = 3$

$$P(3) = \frac{1}{6}e^{-1} = 0.061313$$

b) $\lambda = 8/5 = 1.6$, $m = 2$

$$P(2) = \frac{1.6^2}{2!} e^{-1.6} = 1.28\cdot e^{-1.6} = 0.258$$

D4. Bacamo igraću kocku 5 puta.

a) Koja je vjerojatnost da točno dva puta bude paran broj (2,4 ili 6) s tim da može ali ne mora biti isti broj u oba bacanja ?

b) Koja je vjerojatnost da točno dva puta bude paran broj i to da oba puta bude jedan te isti ?

c) Koja je vjerojatnost da se šestica pojavi barem dva puta ?

Rj. a) to je binomna razdioba p = 3/6 = 0.5 da bude paran ako jednom bacamo, q = 0.5 da ne bude

$P_a = \binom{5}{2} 0.5^2\cdot 0.5^3 = 10\cdot 0.5^5 = 0.3125$

b) $P_b = P(oba-ista | oba-parna)\cdot P_a$

$P(oba-ista | oba-parna)$ gledamo da li je drugi isti kao prvi, postoje tri mogućnosti za paran broj od kojih je jedna dobra, dakle $P_b = \frac{1}{3}\cdot 0.3125 = 0.104167$

c) p za šesticu je 1/6, q je 5/6

neka je svaki broj koji nije 6, x

P(barem dvije 6) = P(66xxx) + P(666xx) + P(6666x) + P(6666)

P(66xxx) = (5 izab 2) p p q q q = 1250/7776

P(666xx) = (5 izab 3) p p p q q = 250/7776

P(6666x) = (5 izab 4) p p p p q = 25/7776

P(66666) = (5 izab 5) p p p p p = 1/7776

P(barem dvije 6) = 1526/7776 = 0.196245

D5. Šestero ljudi igra tombolu gdje ima 12 srećki, a dvije dobivaju. a) Ako svako uzima jednu srećku, koja je vjerojatnost da obje nagrade budu izvučene ? b) ako je od 6 ljudi 4 žene, kolika je vjerojatnost da obje nagrade budu izvučene i to da ih u oba slučaja izvuku žene ?

Vidi C5. za objašnjenje sličnog zadatka ovdje ukratko

a) (6 izaberi 2) podijeljeno s (12 izaberi 2)

Dakle 15/66 = 5/22

b) (4 izaberi 2) podijeljeno s (12 izaberi 2) = 6/66 = 1/11

D6. Janko prolazi šumom svaki dan. Kad ide gornjom stazom vjerojatnost da će naletiti na poskoka je 1 posto. Kad ide donjom stazom vjerojatnost da naleti na poskoka je 3 posto, ali je staza lakša za pješačenje. Tako se Janko radije odlučuje za gornju stazu, osim kad je jako umoran, što se dešava u prosjeku dva od sedam dana u tjednu, tada ipak ide donjom stazom gdje su poskoci češći. Ako je danas naletio na poskoka, odredite vjerojatnost da je išao donjom stazom.

Rješenje. Označimo događaje

ide gornjom stazom G

ide donjom stazom D

naleti na poskoka pos

P(pos|G) = 0.01

P(pos|D) = 0.03

P(G) = 5/7

P(D) = 2/7

pitanje je naći P(D|pos) za što koristimo Bayesovu formulu

$$P(D|pos)=\frac{P(pos|D)\cdot P(D)}{P(pos|D)\cdot P(D)+P(pos|G)\cdot P(G)}$$

$$P(D|pos)=\frac{0.03\cdot 2/7}{0.03\cdot 2/7+0.01\cdot 5/7} = \frac{0.06/7}{0.11/7} = \frac{6}{11} = 0.545454$$

D7. Marija ima 5 pilića, i njihove težine su 730, 740, 755, 760 i 810 grama. Nađi medijan, srednju vrijednost, varijancu (srednje kvadratno odstupanje) i standardnu devijaciju.

$$\array{ x_1 &730 &-29 &841\\ x_2 &740 &-19 &361\\ x_3 &755 &-4 &16\\ x_4 &760 &1 &1\\ x_5 &810 &51 &2601\\ \sum &3795 &0 &764\\ \sum/n &759 && 27.64\\ }$$

srednja vrijednost 759

varijanca 764

standardna devijacija $\sigma = 27.64$

Medijana 755

D8. Tri puta mjerimo dvije slučajne veličine, $x$ i $y$ i nalazimo ove parove vrijednosti $(x,y)$: $(2.3, 1.7)$, $(4.3, 1.2)$, $(6.5, 0.6)$. Nadji kovarijancu $\mathrm{Cov}(x,y)$ i jednadžbu pravca linearne regresije.

srednja vrijednost za x je $\bar{x} = 4.3667$

srednja vrijednost za y je $\bar{y} = 1.1667$

kovarijanca je $Cov(x,y) = -0.7711$

koeficijent korelacije $r = Kor(x,y) = \frac{Cov(x,y)}{\sigma_x\cdot\sigma_y} = -0.9997$ (ne traži se)

koeficijent regresije -0.2621

$$y - \bar{y} = \frac{Cov(x,y)}{Var(x)}(x-\bar{x})$$

$y - 1.1667 = -0.2621 \cdot (x-4.3667)$

$y = -0.2621 x + 2.311$