Ovdje su grupe A i B s dijelom rješenja. Za C i D grupe vidi stat-test-300121CD, a za slijedeći rok stat-test-130221. Testove bez rješenja nađite na adresi https://www2.irb.hr/korisnici/zskoda/matstat20t1.pdf za grupe A i B (11 sati), te https://www2.irb.hr/korisnici/zskoda/matstat20t1CD.pdf za grupe C i D (16 sati).
A1. U urni imamo 3 crne i 2 bijele kuglice.
a) Ako biramo jednu kuglu nasumce i nakon toga je vratimo u urnu i tako 4 puta, koja je vjerojatnost da će u ta 4 puta čak 3 puta biti izabrana BIJELA kuglica ?
b) ako nakon uzimanja NE vraćamo kuglicu u urnu i tako redom biramo 3 kuglice, koja je vjerojatnost da ćemo izvaditi 2 crne i jednu bijelu ?
Rješenje: a) Kako je svaki put prije izvlačenja ista pozicija s 3c2b to su sva tri izvlačenja nezavisna (kako vraćamo kuglicu ne znamo što je bilo izvučeno prošli puta). Dakle svaki puta da izvučemo crnu je vjerojatnost 3/5, a bijelu 2/5. To je binomna distribucija
b) To je zbroj vjerojatnosti 3 disjunktna (međusobno isključiva) događaja (“kanala”), a to je da izvadimo ccb, cbc ili bcc.
jer najprije vučemo crnu, a tri su od 5 takve pa je vjerojatnost tri petine, onda ih je 2 od 4, a onda bijelu a to su 2 od 3. U slijedećem imamo tri crne od 5 kuglica a vućemo jednu, pa onda vućemo bijelu,a takve su 2 od 4 i na kraju crnu a takve su 2 od preostale 3 kuglice.
Ukupno
A2. Sastavljamo 4-slovnu riječ od 5 slova A, B,C, D, E s mogućim ponavljanjem. Bez obzira na smisao, svi redoslijedi su valjani, npr. AEED, EEAD, ABCD, EBBC, BBAC i različiti redoslijedi su različite riječi.
a) koliko ima različitih riječi ?
b) koliko ima različitih riječi u kojima se B pojavljuje točno jednom ?
c) Ako sastavimo nasumce riječ (sve su jednako vjerojatne), kolika je vjerojatnost da će sastavljena riječ imati slovo B točno jednom ?
R: a) pozicija je bitna pa na svakom mjestu imamo 5 mogućnosti, ukupno .
b) B se pojavi na jednom od 4 mjesta, u svakoj od tih mogućnosti imamo još tri preostala mjesta, a na svakom od ta tri mjesta može biti jedno od preostalih 4 slova. Dakle 4 mogućnosti za B, i za ostala tri mjesta pa je ukupno mogućnosti.
c)
A3. a) Ako prosječno prođe cestom auto jednom u 3 minute, kakva je vjerojatnost da će proći 4 u zadane 3 minute ? b) Kolika je vjerojatnost da će proći točno 2 auta u danih 6 minuta ?
To je Poissonova razdioba. auta po minuti, odnosno za 3 minutni period je auto, a , . Dakle,
U dijelu b) je vrijeme duplo dulje pa je dvaput veći, , a . Dakle, ili 27.067%
A4. Bacamo krivi novčić. Novčić je malo nesimetričan, pa u prosjeku u 60 posto slučajeva pada na kunu, a u 40 posto na stranu gdje se pak pokaže slavuj.
a) Ako u jednoj igri bacimo novčić 6 puta koja je vjerojatnost da će 4 puta pasti na kunu.
b) koja je vjerojatnost da se će najviše jednom (dakle 0 ili 1 puta) pasti na kunu ?
Ovdje imamo binomnu razdiobu s i .
a)
Sjetimo se da je
b) To je zbroj vjerojatnosti za ta dva međusobno isključiva slučaja
A5. Šestero ljudi igra tombolu gdje ima 15 srećki, a dvije dobivaju. a) Ako svako uzima jednu srećku, koja je vjerojatnost da obje nagrade budu izvučene ? b) ako je od 6 ljudi pola žena, kolika je vjerojatnost da obje nagrade budu izvučene i to da ih u oba slučaja izvuku žene ?
Rješenje. Sva izvlačenja su jednako vjerojatna. Ukupno ima mogućnosti tombole za ekipu 6 ljudi, gdje nam poredak nije bitan (koji čovjek koju) ili ako nas zanima i tko je dobio. Od toga kombinacije koje izvuku dvije nagrade od dvije i 4 prazne srećke od 13 je ili množimo s 6! ako nas zanima tko je dobio koju srećku. Primijetimo da je .
Dakle pod a) je vjerojatnost
Dvostruki razlomak kratimo unakrsno, pa ostane samo
To smo mogli i tako da nas ne zanimaju uopće gubitne srećke jer one ionako popunjavaju rupe. Tako brojimo samo gdje idu srećke pa je mogućih (15 izaberi 2), a povoljnih (5 izaberi 2) i kad podijelimo dobijemo
Pod b) tu vjerojatnost samo pomnožimo s uvjetnom vjerojatnošću da ako su dvije od 6 dobitne da to dobiju žene kojih je 3 od 6 ljudi. To se može izračunati na razne načine. Na primjer možemo reći da prvo gledamo gdje ide prva od dobitnih srećki, a ta ide među 3 od 6, dakle 50% šanse, a druga ide među 2 od 5, dakle 40% šanse
pa je .
Mogli smo rješavati dio b) i odjednom, na primjer da nas uopće ne zanima što dobiju muškarci i samo riješimo kao pod a) ali gledamo samo 3 žene, pa je
A6. Iz tvornice kaputa izlazi puno škart robe. U prosjeku je jedan od 4 tanjih kaputa s greškom i jedan od 6 debljih kaputa s greškom.
a) ako smo nasumce kupili kaput (podrazumijevamo da je na izboru bio jednak i veliki broj tankih i debelih kaputa) i on ima grešku, koja je vjerojatnost da je to zapravo deblji kaput ?
b) ako smo nasumce kupili dva kaputa, koja je vjerojatnost da ni jedan par nema grešku ?
Ovdje pretpostavljamo da a priori debljih i tanjih kaputa ima jednako mnogo pa su i jednake nasumce vjerojatnosti njihovog biranja.
Ovo je zadatak s Bayesovom formulom! Prvo označimo događaje. G kaput ima grešku, kupili smo tanji T, kupili smo deblji D. Uvjetne vjerojatnosti su
P(G|T) = 1/4 = 0.25, i P(G|D) = 1/6 = 0.1667
a kako su T i D apriori jednako vjerojatni to je .
a) Zanima nas
b) Ovdje nema Bayesa, samo dva nezavisna događaja
A7. U grupi je 5 djece visina 102, 106, 108, 116 i 123 cm. Nadji medijan, srednju vrijednost, varijancu (srednje kvadratno odstupanje) i standardnu devijaciju.
srednja vrijednost 111
varijanca
standardna devijacija
Medijana 108
A8. Tri puta mjerimo dvije slučajne veličine, i i nalazimo ove parove vrijednosti : , , . Nadji kovarijancu i jednadžbu pravca linearne regresije.
Srednja vrijednost od X je 4.37, od Y je 1.30, a kovarijanca je -0.29.
Koeficijent regresije -0.3626
Regresija
(y - 1.30) = -0.3626 (x - 4.37)
y = - 0.3626 x + 2.884
B1. U urni imamo 3 zelene i 2 plave kuglice.
a) Ako biramo jednu kuglu nasumce i nakon toga je vratimo u urnu i tako 4 puta, koja je vjerojatnost da će u ta 4 puta točno dva puta biti izabrana zelena kuglica ?
b) ako nakon uzimanja NE vraćamo kuglicu u urnu i tako redom biramo 3 kuglice, koja je vjerojatnost da ćemo izvaditi 2 zelene i jednu plavu ?
Rj. a) ovdje su događaji nezavisni i svaki put ista početna pozicija pa imamo
b) , dakle
ili 60%.
B2. Sastavljamo 4-slovnu riječ od 6 slova A, B,C, D, E, F s mogućim ponavljanjem. Bez obzira na smisao, svi redoslijedi su valjani, npr. AEFD, EEAD, ABCD, EBBC, BBFC i različiti redoslijedi su različite riječi.
a) koliko ima različitih riječi ?
b) koliko ima različitih riječi u kojima se pojavljuju i A i E točno po jedamput ?
c) Ako sastavimo nasumce riječ (sve su jednako vjerojatne), kolika je vjerojatnost da će sastavljena riječ imati slova A i E točno po jednom ?
a)
b) A je na jednom od 4 mjesta, E na jednom od preostala 3. Na svakom od preostala dva mjesta imamo 4 mogućnosti jer tamo smiju biti B,C,D,F (i mogu se ponavljati). Dakle,
c)
B3. a) Ako prosječno prođe drumom u parku romobil jednom u 4 minute, kakva je vjerojatnost da će proći 3 u zadane 4 minute ? b) Kolika je vjerojatnost da će proći točno 2 romobila u danih 6 minuta ?
Poissonova distribucija a) , , b) ,
B4. Bacamo igraću kocku 5 puta.
a) Koja je vjerojatnost da se šestica pojavi točno dva puta ?
b) Koja je vjerojatnost da se šestica pojavi barem 4 puta ?
Binomna razdioba s u oba dijela zadatka.
Ovdje je pa s time nismo množili drugi sumand. Dakle,
B5. Šestero ljudi igra tombolu gdje ima 12 srećki, a dvije dobivaju. a) Ako svako uzima jednu srećku, koja je vjerojatnost da obje nagrade budu izvučene ? b) ako je od 6 ljudi 4 žene, kolika je vjerojatnost da obje nagrade budu izvučene i to da ih u oba slučaja izvuku žene ?
ili alternativno,
ili alternativno, da uopće ne marimo što muški dobiju, direktno
Usporedi s rješenjem za A5.
B6. Iz tvornice kravata izlazi puno škart robe. U prosjeku je jedan od 4 plavih kravata s greškom i jedan od 6 crvenih kravata s greškom.
a) ako smo nasumce kupili kravatu zapakiranu u kutiji i kravata ima grešku, koja je vjerojatnost da je to zapravo plava kravata ?
b) ako smo nasumce kupili dvije kravate u kutiji, koja je vjerojatnost da ni jedna nema grešku ?
Ovdje pretpostavljamo (jer drukčije nije rečeno) da se zelene i crvene kravate proizvode jednako često, nasumično.
Ovdje Bayesova formula, kao u A6. P(Pl) = P(C) = 0.5, P(G) da ima grešku. Uvjetne vjerojatnosti P(G|Pl) = 1/4, P(G|C) = 1/6, a u a) pitamo P(Pl|G). Dalje nastavi kao u A6.
B7. U grupi je 5 djece visina 99, 102, 104, 108 i 115 cm. Nadji medijan, srednju vrijednost, varijancu (srednje kvadratno odstupanje) i standardnu devijaciju.
Rješenje: isti zadatak kao A7, vidi gore.
srednja vrijednost 105.6
varijanca 30.64
standardna devijacija
Medijana 104
B8. Tri puta mjerimo dvije slučajne veličine, i i nalazimo ove parove vrijednosti : , , . Nadji kovarijancu i jednadžbu pravca linearne regresije.
Rješenje. srednja vrijednost od ,
kovarijanca
koeficijent regresije 0.4426
y - 1.2 = 0.4426 (x - 4.367)
y = 0.4426 x - 0.7328
Created on March 23, 2021 at 07:54:10. See the history of this page for a list of all contributions to it.