Zoran Skoda
trigonometrijska funkcija

Trigonometrijske funkcije su sinus, kosinus, tangens i kotangens, s oznakama koje su redom sin,cos,tg,ctgsin, cos, tg, ctg. U anglosaksonskoj literaturi za tangens i kotangens često koriste dulje oznake tan,cotantan, cotan. Argument trigonometrijskih funkcija interpretiramo kao mjeru kuta, pa je njegova vrijednost ista ako dodamo ili oduzmemo 2π2\pi (u radijanima).

Trigonometrijske funkcije šiljastog kuta (tj. između 00 i π/2\pi/2) se mogu definirati tako da promatramo ma koji pravokutni trokut kojem je taj kut jedan od šiljastih kuteva, i definiramo

  • sinus kao omjer duljine kutu nasuprotne katete i duljine hipotenuze

  • kosinus kao omjer duljine kutu priležeće katete i duljine hipotenuze

  • tangens kao omjer duljine nasuprotne i duljine priležeće katete (ekvivalentno, sinus kroz kosinus)

  • kotangens kao omjer duljine priležeće i duljine nasuprotne katete (ekvivalentno, kosinus kroz sinus)

Izbor pravokutnog trokuta nije bitan jer svi trokuti s pravim kutem i jednakim zadanim šiljastim kutem imaju dakle 2 ista kuta (pa onda imaju ista i sva tri kuta, jer je zbroj svih kuteva u trokutu uvijek ispruženi kut), pa su po jednom od teorema o sličnosti trokuta slični, slični trokuti imaju proporcionalne duljine stranica pa su omjeri duljina stranica jednaki.

Ako je neka kateta nasuprot jednom od šiljastih kuteva u pravokutnom trokutu ona je ujedno priležeća drugom šiljastom kutu i obratno, dakle njen sinus je kosinus drugog šiljastog kuta. Kako je zbroj svih kuteva u trokutu ispruženi kut, a treći kut je ovdje pravi, to je zbroj šiljastih kuteva u pravokutnom trokutu pravi kut, tj. šiljasti kutevi u pravokutnom trokutu su međusobno komplementarni (njihov zbroj je pravi kut, 90 90^\circ). Rezimiramo formulama

cos(π/2α)=sin(α),sin(π/2α)=cos(α). cos(\pi/2 - \alpha) = sin(\alpha),\,\,\,\, sin(\pi/2 - \alpha) = cos(\alpha).

Definicije pomoću pravokutnog trokuta nemaju smisla za tupe kuteve, negativne kuteve itd. jer pravokutnih trokuta s tupim ili negativnim kutevima nema. Zato se gornje definicije proširuju na sve brojeve tako da se promatra “trigonometrijska kružnica”, (najčešće jedinična, tj. s polumjerom 11) kružnica sa središtem u ishodištu. Kut koji promatramo se nacrta tako da je prvi krak kuta pozitivna poluos osi xx. Promatramo bilo koju točku PP na drugom kraku kuta – tu se obično uzima sjecište trigonometrijske kružnice i tog drugog kraka. Radijusvektor te točke je dakle vektor od ishodišta do tog sjecišta. Tada definiramo

  • sinus kao yy koordinata točke PP podijeljena s udaljenošću od ishodišta tj. duljinom radijus vektora rr (dakle samo yy ako je trigonometrijska kružnica jedinična kružnica)

  • kosinus kao x/rx/r

  • tangens kao y/xy/x, što je definirano samo kad je x0x\neq 0 (tj. kut nije 0,±π,±2π,0,\pm\pi, \pm 2\pi,\ldots)

  • kotangens kao x/yx/y, što je definirano samo kad je y0y\neq 0 (tj. kut nije neparni višekratnik od ±π/2\pm\pi/2)$

Nacrtajte sliku da primijetite da za šiljasti kut (tj. u prvom kvadrantu) te definicije daju isti rezultat kao i definicije preko pravokutnog trokuta tako da od presjecišta PP povučete okomicu na os xx, nožište te okomice, zajedno s ishodištem i točkom PP čini pravokutni trokut i lako se uvjeriti da je npr. omjer priležeće katete i hipotenuze y/ry/r. Učinite to!

Primijetite da je za male šiljaste kuteve drugi krak bliži pozitivnoj poluosi osi xx pa je kosinus veći a sinus manji, a za veće šiljaste kuteve drugi krak bliži pozitivnoj poluoosi osi yy pa je sinus veći, a kosinus manji. Oba su jednaki na polovici, tj. za kut π/4=45 \pi/4 = 45^\circ.

Kako je (po Pitagorinom teoremu) duljina radijus vektora r=x 2+y 2r = \sqrt{x^2 + y^2} i kako iz 0y 20\leq y^2 slijedi x 2x 2+y 2x^2 \leq x^2 + y^2 i |x|=x 2x 2+y 2|x| = \sqrt{x^2} \leq \sqrt{x^2+y^2} to je |x/r|1|x/r|\leq 1. Dakle coscos prima vrijednosti cos(x)cos(x) između 1-1 i 11, a isto vrijedi i za sinus, sin(x)[1,1]sin(x)\in[-1,1]. Minimalna vrijednost 1-1 i maksimalna vrijednost 11 funkcija sinus i kosinus su dostignute za posebne vrijednosti: cos(0)=cos(±2π)=cos(2kπ)=1cos(0) = cos(\pm 2\pi) = cos(2k\pi) = 1 za sve kZk\in\mathbf{Z} i cos(±π)=cos((2k+1)π)=1cos(\pm\pi) = cos((2k+1)\pi) = -1, sin(2k+12π)=1sin(\frac{2k+1}{2}\pi) = 1, sin(2k12π)=1sin(\frac{2k-1}{2}\pi) = -1 za sve kZk\in\mathbf{Z} (provjerite promatrajući trigonometijsku kružnicu!). Kako kosinus (za točke na jediničnoj kružnici) čitamo na osi xx, to nam orijentacija kuta nije važna pa je cos(x)=cos(x)cos(-x) = cos(x), tj. kosinus je parna funkcija. Slično tome, sinus čitamo na osi yy pa dok postavimo prvu os kuta na os xx orijentacija u kojem smjeru ćemo rotirati da dobijemo drugi krak utiče na promjenu predznaka koordinate na osi yy točaka drugog kuta, uz istu apsolutnu vrijednost. Dakle sin(x)=sin(x)sin(-x) = -sin(x), drugim riječima sinus je neparna funkcija realne varijable.

Nadalje, Pitagorin teorem x 2+y 2=r 2x^2 + y^2 = r^2 daje (xr) 2+(yr) 2=1\left(\frac{x}{r}\right)^2+ \left(\frac{y}{r}\right)^2 = 1, dakle kad primijetimo da su omjeri na desnoj strani vrijednosti trigonometrijske funkcije cosα=x/rcos\alpha = x/r i sinα=y/rsin\alpha = y/r, zaključujemo da za svaki kut α\alpha vrijedi osnovni trigonometrijski identitet:

cos 2(α)+sin 2(α)=1. cos^2(\alpha) + sin^2(\alpha) = 1.

Kako su za α=π/4=45 \alpha = \pi/4 = 45^\circ oba šiljasta kuta jednaka, obje su katete (stranice nasuprotne tim kutevima) također jednake pa je sinus jednak kosinusu. Nazivomo njegovu vrijednost cc. Tada osnovni trigonometrijski identitet kaže c 2+c 2=1c^2 + c^2 = 1, dakle c 2=1/2c^2 = 1/2 i kako su sve vrijednosti pozitivne c=1/2=1/2=2/2c = \sqrt{1/2} = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2. Dakle,

cos(π/4)=sin(π/4)=cos((4k±1)π/4)=sin((4k±1)π/4)=2/2,zasvekZ cos(\pi/4) = sin(\pi/4) = cos((4k\pm 1)\pi/4) = sin((4k\pm 1)\pi/4) = \sqrt{2}/2, \,\,\,\,za\,\,\,sve\,\,\,k\in\mathbf{Z}

Posebne vrijednosti koje su također lake za odrediti, često se pojavljuju u praksi i dobre su za testiranje razumijevanja su višekratnici od π/6\pi/6 (dakle 30 30^\circ). Ako je jedan šiljasti kut pravokutnog trokuta 30 30^\circ onda je drugi 60 60^\circ pa taj pravokutni trokut čini polovicu jednog većeg trokuta koji je jednakostranični sa stranicom duljine rr (kod vrha od 30 30^\circ nacrtate još jedan trokut koji ima kut od 30 30^\circ, a koji s prvim ima zajedničku katetu priležeću jednom i drugom kutu od 30 30^\circ). Ta kateta onda postane visina jednakostraničnog trokuta koja je ujedno i težišnica, tj. raspolavlja treću stranicu pa je nasuprotna kateta r/2r/2 i po Pitagorinom teoremu visina (priležeća kateta) je r 2(r/2) 2=3r2\sqrt{r^2 - (r/2)^2} = \frac{\sqrt{3}r}{2}. Dakle,

sin(π/6)=sin(30 )=cos(60 )=cos(π/3)=r/2r=12 sin(\pi/6) = sin(30^\circ) = cos(60^\circ) = cos(\pi/3) = \frac{r/2}{r} = \frac{1}{2}
sin(π/3)=sin(60 )=cos(30 )=cos(π/6)=3r/2r=32 sin(\pi/3) = sin(60^\circ) = cos(30^\circ) = cos(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}r/2}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Drugi višekratnici od π/6\pi/6 uvijek imaju drugi krak koji zatvara π/6\pi/6 s nekom od poluosi (+x+x, x-x, +y+y, y-y) pa se lako ustanovi koje se od vrijednosti ±1/2\pm 1/2, ±3/2\pm\sqrt{3}/2 pojave kao sinus ili kosinus. Npr. ako je α=47π/6\alpha = 47\pi/6 onda ga najprije svedemo na kut između 00 i 2π2\pi (ili između π-\pi i π\pi ako nam je tamo lakše određivati trigonometrijske funkcije). Dakle, 47=2×6×4147 = 2\times 6\times 4 - 1 ili 47=2×6×3+1147 = 2\times 6 \times 3 + 11 pa je 47π/6=π/6(mod2π)=11π/6(mod2π)47\pi/6 = -\pi/6\,\,(mod\,\,2\pi) = 11\pi/6\,\,(mod\,\,2\pi). To je kut u četvrtom kvadrantu, kojem drugi krak zatvara π/6\pi/6 s +x+x poluosi, dakle cos(π/6)=3/2cos(-\pi/6) = \sqrt{3}/2, te zatvara kut π/3\pi/3 s y-y poluosi, iz čega slijedi da je sin(π/6)=1/2sin(-\pi/6) = -1/2 (nacrtajte sliku da se uvjerite). To smo mogli dobiti i koristeći parnost funkcije kosinus i neparnost funkcije sinus.

Funkcije sinus i kosinus su periodične s periodom 2π2\pi, a tangens i kotangens imaju manji period od π\pi. Naime u prvom kvadrantu u definiciji tangensa i kotangensa kuta α\alpha kao redom y/xy/x i x/yx/y dijelimo dva pozitivna broja, a u trećem kvadrantu za α+π\alpha +\pi dijelimo dva negativna broja iste apsolutne vrijednosti tako da je omjer pozitivan i isti kao i za α\alpha. Slično uspoređujemo drugi i čevrti kvadrant za kuteve koji se razlikuju za πrad=180 \pi\,rad =180^\circ, kad tako uvrštavamo omjer pozitivne i negativne koordinate ili negativne i pozitivne iste apsolutne vrijednosti pa je rezultat negativan i isti.

Trigonometrijske funkcije nisu bijekcije pa nemaju inverzne funkcije u doslovnom smislu. Međutim, možemo suziti (restringirati) trigonometrijske funkcije na interval duljine π\pi koji sadrži prvi kvadrant i još jedan susjedni kvadrant, tako da je suženje (restrikcija) trigonometrijske funkcije na ta dva kvadranta neprekidna bijekcija. To možemo napraviti na jedinstveni način. Drugim riječima, dobivamo suženja

sin| [π/2,π/2],cos| [0,π],tg| (π/2,π/2)ictg| (0,π) sin|_{[-\pi/2,\pi/2]},\,\,\,\, cos|_{[0,\pi]},\,\,\,\, tg|_{(-\pi/2,\pi/2)}\,\,\,\, i\,\,\,\,ctg|_{(0,\pi)}

Inverz te bijekcije, inverz tog suženja, zovemo inverzna trigonometrijska funkcija ili arkus funkcija.

arcsin:[1,1][π/2,π/2] arccos:[1,1][0,π] arctg:R(π/2,π/2) arcctg:R(0,π)\array{ arcsin : [-1,1]\to [-\pi/2,\pi/2] \\ arccos : [-1,1]\to [0,\pi] \\ arctg : \mathbf{R}\to (-\pi/2,\pi/2) \\ arcctg : \mathbf{R}\to (0,\pi) }

Funkcije sin| [π/2,π/2]sin|_{[-\pi/2,\pi/2]}, tg| (π/2,π/2)tg|_{(-\pi/2,\pi/2)}, pa dakle i njima inverzne funkcije arcsinarcsin, arctgarctg, su strogo rastuće funkcije (a<bf(a)<f(b)a\lt b\implies f(a)\lt f(b)), a cos| [0,π]cos|_{[0,\pi]}, ctg| (0,π)ctg|_{(0,\pi)} i njihovi inverzi arccosarccos, arcctgarcctg, su strogo padajuće funkcije (a<bf(b)<f(a)a\lt b\implies f(b)\lt f(a)). Funkcija arcsinarcsin poprima maksimum, arcsin(1)=π/2arcsin(1) = \pi/2, i minimum arcsin(1)=π/2arcsin(-1) = -\pi/2. Funkcija arccosarccos poprima minimum arccos(1)=0arccos(1) = 0 i maksimum arccos(1)=πarccos(-1) = \pi. Infimum vrijednosti funkcija arctgarctg i arcctgarcctg je 1-1, a supremum je 11. Kako tangens ima vertikalne asimptote x=±π/2x = \pm\pi/2 (i općenitije, x=(2k+1)π/2x=(2k+1)\pi/2, kZk\in\mathbf{Z}) to arctgarctg ima dvije horizontalne asimptote y=±π/2y = \pm\pi/2 kojima se približava u ±\pm\infty. Kako kotangens ima vertikalne asimptote za x=kπx = k\pi, to arcctgarcctg ima dvije horizontalne asimptote, y=0y = 0 (kojoj se približava kad xx\to\infty) i y=πy = \pi (kojoj se približava kad xx\to-\infty).

Latinski arcus označava luk. Naime mjera (u radijanima) šiljastog kuta sa središtem u ishodištu je jednaka jednaka duljini luka kojeg taj kut izrezuje na jediničnoj kružnici sa središtem u ishodištu. Inverzna funkcija gornjih suženja sinusa, kosinusa, tangensa ili kotangensa stoga vraća luk zadanoj vrijednosti geometrijskog omjera koji predstavlja vrijednost trigonometrijske funkcije kuta/luka. Na anglofonim kalkulatorima se arkus funkcije umjesto s arccos,arcsin,arctg,arcctgarc cos, arc sin, arc tg, arc ctg često označavaju sa sin 1,cos 1,tan 1,cotan 1sin^{-1}, cos^{-1}, tan^{-1}, cotan^{-1}.

Nazivom trigonometrijske funkcije zovemo i inverze za množenje funkcija kosinusa i sinus, a to su:

  • sekans, sec(α)=1/cos(α)sec(\alpha) = 1/cos(\alpha) i

  • kosekans, cosec(α)=1/sin(α)cosec(\alpha) = 1/sin(\alpha).

Te nazive se danas rijetko koristi, jer je zacijelo lakše pisati 1/cos(α)1/cos(\alpha) nego uvoditi novu oznaku sec(α)sec(\alpha). Trigonometrijskim funkcijama zovemo i razne njihove kombinacije, npr. funkciju αcos(α)+3sin(α)\alpha\mapsto cos(\alpha)+ 3 sin(\alpha).

Za neke primjene trigonometrije u planimetriji, i napose za sinusov i kosinusov poučak, vidi stranicu trokut.

category: zadarmat3

Last revised on January 25, 2018 at 08:38:25. See the history of this page for a list of all contributions to it.