Zoran Skoda trigonometrijska funkcija

Trigonometrijske funkcije su sinus, kosinus, tangens i kotangens, s oznakama koje su redom $sin, cos, tg, ctg$. U angloameričkoj literaturi za tangens i kotangens često koriste dulje oznake $tan, cotan$. Argument trigonometrijskih funkcija interpretiramo kao mjeru kuta, pa je njegova vrijednost ista ako dodamo ili oduzmemo $2\pi$ (u radijanima).

Trigonometrijske funkcije šiljastog kuta

Trigonometrijske funkcije šiljastog kuta (tj. između $0$ i $\pi/2$) se mogu definirati tako da promatramo ma koji pravokutni trokut kojem je taj kut jedan od šiljastih kuteva, i definiramo

• sinus kao omjer duljine kutu nasuprotne katete i duljine hipotenuze

• kosinus kao omjer duljine kutu priležeće katete i duljine hipotenuze

• tangens kao omjer duljine nasuprotne i duljine priležeće katete (ekvivalentno, sinus kroz kosinus)

• kotangens kao omjer duljine priležeće i duljine nasuprotne katete (ekvivalentno, kosinus kroz sinus)

Izbor pravokutnog trokuta nije bitan jer svi trokuti s pravim kutem i jednakim zadanim šiljastim kutem imaju dakle 2 ista kuta (pa onda imaju ista i sva tri kuta, jer je zbroj svih kuteva u trokutu uvijek ispruženi kut), pa su po jednom od teorema o sličnosti trokuta slični, slični trokuti imaju proporcionalne duljine stranica pa su omjeri duljina stranica jednaki.

Ako je neka kateta nasuprot jednom od šiljastih kuteva u pravokutnom trokutu ona je ujedno priležeća drugom šiljastom kutu i obratno, dakle njen sinus je kosinus drugog šiljastog kuta. Kako je zbroj svih kuteva u trokutu ispruženi kut, a treći kut je ovdje pravi, to je zbroj šiljastih kuteva u pravokutnom trokutu pravi kut, tj. šiljasti kutevi u pravokutnom trokutu su međusobno komplementarni (njihov zbroj je pravi kut, $90^\circ$). Rezimiramo formulama

$$cos(\pi/2 - \alpha) = sin(\alpha),\,\,\,\, sin(\pi/2 - \alpha) = cos(\alpha).$$

Trigonometrijske funkcije za opći kut

Definicije pomoću pravokutnog trokuta nemaju smisla za tupe kuteve, negativne kuteve itd. jer pravokutnih trokuta s tupim ili negativnim kutevima nema. Zato se gornje definicije proširuju na sve brojeve tako da se promatra “trigonometrijska kružnica”, (najčešće jedinična, tj. s polumjerom $1$) kružnica sa središtem u ishodištu. Kut koji promatramo se nacrta tako da je prvi krak kuta pozitivna poluos osi $x$. Promatramo bilo koju točku $P$ na drugom kraku kuta – tu se obično uzima sjecište trigonometrijske kružnice i tog drugog kraka. Radijusvektor te točke je dakle vektor od ishodišta do tog sjecišta. Tada definiramo

• sinus kao $y$ koordinata točke $P$ podijeljena s udaljenošću od ishodišta tj. duljinom radijus vektora $r$ (dakle samo $y$ ako je trigonometrijska kružnica jedinična kružnica)

• kosinus kao $x/r$

• tangens kao $y/x$, što je definirano samo kad je $x\neq 0$ (tj. kut nije neparni višekratnik od $\pm\pi/2$)

• kotangens kao $x/y$, što je definirano samo kad je $y\neq 0$ (tj. kut nije $0,\pm\pi, \pm 2\pi,\ldots$).

Nacrtajte sliku da primijetite da za šiljasti kut (tj. u prvom kvadrantu) te definicije daju isti rezultat kao i definicije preko pravokutnog trokuta tako da od presjecišta $P$ povučete okomicu nate os $x$, nožište te okomice, zajedno s ishodištem i točkom $P$ čini pravokutni trokut i lako se uvjeriti da je npr. omjer priležeće katete i hipotenuze $y/r$. Učinite to!

Primijetite da je za male šiljaste kuteve drugi krak bliži pozitivnoj poluosi osi $x$ pa je kosinus veći a sinus manji, a za veće šiljaste kuteve drugi krak bliži pozitivnoj poluoosi osi $y$ pa je sinus veći, a kosinus manji. Oba su jednaki na polovici, tj. za kut $\pi/4 = 45^\circ$.

Kako je (po Pitagorinom teoremu) duljina radijus vektora $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ i kako iz $0\leq y^2$ slijedi $x^2 \leq x^2 + y^2$ i $|x| = \sqrt{x^2} \leq \sqrt{x^2+y^2}$ to je $|x/r|\leq 1$. Dakle $cos$ prima vrijednosti $cos(x)$ između $-1$ i $1$, a isto vrijedi i za sinus, $sin(x)\in[-1,1]$. Minimalna vrijednost $-1$ i maksimalna vrijednost $1$ funkcija sinus i kosinus su dostignute za posebne vrijednosti: $cos(0) = cos(\pm 2\pi) = cos(2k\pi) = 1$ za sve $k\in\mathbf{Z}$ i $cos(\pm\pi) = cos((2k+1)\pi) = -1$, $sin(\frac{2k+1}{2}\pi) = 1$, $sin(\frac{2k-1}{2}\pi) = -1$ za sve $k\in\mathbf{Z}$ (provjerite promatrajući trigonometijsku kružnicu!). Kako kosinus (za točke na jediničnoj kružnici) čitamo na osi $x$, to nam orijentacija kuta nije važna pa je $cos(-x) = cos(x)$, tj. kosinus je parna funkcija. Slično tome, sinus čitamo na osi $y$ pa dok postavimo prvu os kuta na os $x$ orijentacija u kojem smjeru ćemo rotirati da dobijemo drugi krak utiče na promjenu predznaka koordinate na osi $y$ točaka drugog kuta, uz istu apsolutnu vrijednost. Dakle $sin(-x) = -sin(x)$, drugim riječima sinus je neparna funkcija realne varijable.

Nadalje, Pitagorin teorem $x^2 + y^2 = r^2$ daje $\left(\frac{x}{r}\right)^2+ \left(\frac{y}{r}\right)^2 = 1$, dakle kad primijetimo da su omjeri na desnoj strani vrijednosti trigonometrijske funkcije $cos\alpha = x/r$ i $sin\alpha = y/r$, zaključujemo da za svaki kut $\alpha$ vrijedi osnovni trigonometrijski identitet:

$$cos^2(\alpha) + sin^2(\alpha) = 1.$$

Kako su za $\alpha = \pi/4 = 45^\circ$ oba šiljasta kuta jednaka, obje su katete (stranice nasuprotne tim kutevima) također jednake pa je sinus jednak kosinusu. Nazivomo njegovu vrijednost $c$. Tada osnovni trigonometrijski identitet kaže $c^2 + c^2 = 1$, dakle $c^2 = 1/2$ i kako su sve vrijednosti pozitivne $c = \sqrt{1/2} = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2$. Dakle,

$$cos(\pi/4) = sin(\pi/4) = cos((4k\pm 1)\pi/4) = sin((4k\pm 1)\pi/4) = \sqrt{2}/2, \,\,\,\,za\,\,\,sve\,\,\,k\in\mathbf{Z}$$

Posebne vrijednosti koje su također lake za odrediti, često se pojavljuju u praksi i dobre su za testiranje razumijevanja su višekratnici od $\pi/6$ (dakle $30^\circ$). Ako je jedan šiljasti kut pravokutnog trokuta $30^\circ$ onda je drugi $60^\circ$ pa taj pravokutni trokut čini polovicu jednog većeg trokuta koji je jednakostranični sa stranicom duljine $r$ (kod vrha od $30^\circ$ nacrtate još jedan trokut koji ima kut od $30^\circ$, a koji s prvim ima zajedničku katetu priležeću jednom i drugom kutu od $30^\circ$). Ta kateta onda postane visina jednakostraničnog trokuta koja je ujedno i težišnica, tj. raspolavlja treću stranicu pa je nasuprotna kateta $r/2$ i po Pitagorinom teoremu visina (priležeća kateta) je $\sqrt{r^2 - (r/2)^2} = \frac{\sqrt{3}r}{2}$. Dakle,

$$sin(\pi/6) = sin(30^\circ) = cos(60^\circ) = cos(\pi/3) = \frac{r/2}{r} = \frac{1}{2}$$

$$sin(\pi/3) = sin(60^\circ) = cos(30^\circ) = cos(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}r/2}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Drugi višekratnici od $\pi/6$ uvijek imaju drugi krak koji zatvara $\pi/6$ s nekom od poluosi ($+x$, $-x$, $+y$, $-y$) pa se lako ustanovi koje se od vrijednosti $\pm 1/2$, $\pm\sqrt{3}/2$ pojave kao sinus ili kosinus. Npr. ako je $\alpha = 47\pi/6$ onda ga najprije svedemo na kut između $0$ i $2\pi$ (ili između $-\pi$ i $\pi$ ako nam je tamo lakše određivati trigonometrijske funkcije). Dakle, $47 = 2\times 6\times 4 - 1$ ili $47 = 2\times 6 \times 3 + 11$ pa je $47\pi/6 = -\pi/6\,\,(mod\,\,2\pi) = 11\pi/6\,\,(mod\,\,2\pi)$. To je kut u četvrtom kvadrantu, kojem drugi krak zatvara $\pi/6$ s $+x$ poluosi, dakle $cos(-\pi/6) = \sqrt{3}/2$, te zatvara kut $\pi/3$ s $-y$ poluosi, iz čega slijedi da je $sin(-\pi/6) = -1/2$ (nacrtajte sliku da se uvjerite). To smo mogli dobiti i koristeći parnost funkcije kosinus i neparnost funkcije sinus.

Funkcije sinus i kosinus su periodične s periodom $2\pi$, a tangens i kotangens imaju manji period od $\pi$. Naime u prvom kvadrantu u definiciji tangensa i kotangensa kuta $\alpha$ kao redom $y/x$ i $x/y$ dijelimo dva pozitivna broja, a u trećem kvadrantu za $\alpha +\pi$ dijelimo dva negativna broja iste apsolutne vrijednosti tako da je omjer pozitivan i isti kao i za $\alpha$. Slično uspoređujemo drugi i čevrti kvadrant za kuteve koji se razlikuju za $\pi\,rad =180^\circ$, kad tako uvrštavamo omjer pozitivne i negativne koordinate ili negativne i pozitivne iste apsolutne vrijednosti pa je rezultat negativan i isti.

Nazivom trigonometrijske funkcije zovemo i inverze za množenje funkcija kosinusa i sinus, a to su:

• sekans, $sec(\alpha) = 1/cos(\alpha)$ i

• kosekans, $cosec(\alpha) = 1/sin(\alpha)$.

Te nazive se danas rijetko koristi, jer je zacijelo lakše pisati $1/cos(\alpha)$ nego uvoditi novu oznaku $sec(\alpha)$. Trigonometrijskim funkcijama zovemo i razne njihove kombinacije, npr. funkciju $\alpha\mapsto cos(\alpha)+ 3 sin(\alpha)$.

Za neke primjene trigonometrije u planimetriji, i napose za sinusov i kosinusov poučak, vidi stranicu trokut.

Inverzne trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije nisu bijekcije pa nemaju inverzne funkcije u doslovnom smislu. Međutim, možemo suziti (restringirati) trigonometrijske funkcije na interval duljine $\pi$ koji sadrži prvi kvadrant i još jedan susjedni kvadrant, tako da je suženje (restrikcija) trigonometrijske funkcije na ta dva kvadranta neprekidna bijekcija. To možemo napraviti na jedinstveni način. Drugim riječima, dobivamo suženja

$$sin|_{[-\pi/2,\pi/2]},\,\,\,\, cos|_{[0,\pi]},\,\,\,\, tg|_{(-\pi/2,\pi/2)}\,\,\,\, i\,\,\,\,ctg|_{(0,\pi)}$$

Inverz te bijekcije, inverz tog suženja, zovemo inverzna trigonometrijska funkcija ili arkus funkcija.

$$\array{ arcsin : [-1,1]\to [-\pi/2,\pi/2] \\ arccos : [-1,1]\to [0,\pi] \\ arctg : \mathbf{R}\to (-\pi/2,\pi/2) \\ arcctg : \mathbf{R}\to (0,\pi) }$$

Funkcije $sin|_{[-\pi/2,\pi/2]}$, $tg|_{(-\pi/2,\pi/2)}$, pa dakle i njima inverzne funkcije $arcsin$, $arctg$, su strogo rastuće funkcije ($a\lt b\implies f(a)\lt f(b)$), a $cos|_{[0,\pi]}$, $ctg|_{(0,\pi)}$ i njihovi inverzi $arccos$, $arcctg$, su strogo padajuće funkcije ($a\lt b\implies f(b)\lt f(a)$). Funkcija $arcsin$ poprima maksimum, $arcsin(1) = \pi/2$, i minimum $arcsin(-1) = -\pi/2$. Funkcija $arccos$ poprima minimum $arccos(1) = 0$ i maksimum $arccos(-1) = \pi$. Infimum vrijednosti funkcija $arctg$ i $arcctg$ je $-1$, a supremum je $1$. Kako tangens ima vertikalne asimptote $x = \pm\pi/2$ (i općenitije, $x=(2k+1)\pi/2$, $k\in\mathbf{Z}$) to $arctg$ ima dvije horizontalne asimptote $y = \pm\pi/2$ kojima se približava u $\pm\infty$. Kako kotangens ima vertikalne asimptote za $x = k\pi$, to $arcctg$ ima dvije horizontalne asimptote, $y = 0$ (kojoj se približava kad $x\to\infty$) i $y = \pi$ (kojoj se približava kad $x\to-\infty$).

Latinski arcus označava luk. Naime mjera (u radijanima) šiljastog kuta sa središtem u ishodištu je jednaka jednaka duljini luka kojeg taj kut izrezuje na jediničnoj kružnici sa središtem u ishodištu. Inverzna funkcija gornjih suženja sinusa, kosinusa, tangensa ili kotangensa stoga vraća luk zadanoj vrijednosti geometrijskog omjera koji predstavlja vrijednost trigonometrijske funkcije kuta/luka. Na anglofonim kalkulatorima se arkus funkcije umjesto s $arc cos, arc sin, arc tg, arc ctg$ često označavaju sa $sin^{-1}, cos^{-1}, tan^{-1}, cotan^{-1}$.

category: zadarmat2, zadarmat3