Notes for a course on sheaves and stacks building up to a little discussion of higher category theory and physics.
For more advanced material along these lines see the following Seminar on (∞,1)-categories and ∞-stacks.
Ort: Hörsaal H5 im Geomatikum
Termine:
Di, 12:00 - 14:00
Fr, 14:00 - 16:00
erster Termin: 7. April 2009
Garben und höhere Stacks sind verallgemeinerte Räume, die für grosse Teile der Mathematik, sowie zunehmend in der theoretischen Physik, eine grundlegende Rolle spielen.
Im engeren Sinne von sogenannten abelschen Garben und Stacks geht es dabei um moderne Konzepte der homologischen Algebra, und in jedem Fall geht es zentral um den Begriff von Kohomologie.
In dieser Veranstaltung wird die Theorie von Garben im Allgemeinen und die homologische Algebra von abelschen Garben insbesondere erarbeitet und in Bezug zu höheren Stacks gesetzt.
Das Vorgehen ist an dem Buch
orientiert und grob in drei Teile gegliedert
I kategorielle Grundlagen und mengenwertige Prägarben
II Geometrische Einbettung und Garben
III Garbenkohomologie und -Stacks
Wir starten heuristisch mit der Frage nach den klassifizierenden Räumen von glatten Faserbündeln mit Zusammenhang, motivieren daraus den Begriff von Kategorien und die anderen zentralen Begriffe der Veranstaltung und schliessen zum Ende – nach Entwicklung der Konzepte und der benötigten Werkzeuge – mit der Antwort auf diese Frage und ihrer höheren Verallgemeinerungen in Form von differentieller (Deligne-)Kohomologie und der Klassifizierung von Bündeln und Gerben mit Zusammenhang.
Die Veranstaltung sollte im Wesentlichen alle benötigten Grundlagen zur Verfügung stellen. Frühere Bekanntschaft mit Kategorien und homologischer Algebra wird Wiedererkennungseffekte begünstigen, aber nicht vorausgesetzt.
Eine Art Skript und weiteres Begleitmaterial zur Veranstaltung wird elektronisch zur Verfuegung gestellt.
Diese Seite selbst, mit Details zum Veranstaltungsablauf, liegt unter der Adresse
Eine nach Kapiteln geordnete Liste von verlinkten Sachbegriffen mit den in der Veranstaltung behandelten Inhalten und weiterfuehrendem Material ist unter
abgelegt. Diese Liste wird im Laufe der Veranstaltung erweitert werden, sollte aber bereits als Überblick nützlich sein.
Ein Abriss des Inhaltes der einzelnen Veranstaltungen ist jeweils unter den folgenden links zu finden:
Introduction
Part I - Presheaves
Part II – Sheaves
Part III – -Stacks
Postlude
Die Veranstaltung orientiert sich in Ablauf und Inhalt grob an dem Buch
das eine vergleichsweise moderne Perspektive auf Garben bietet und insbesondere auf die Theorie abelscher Garben.
Die natürliche Begleitliteratur dazu ist das Buch
in dem nur mengenwertige Garben betrachtet werden, dafür aber deren Topos-theoretische Bedeutung analysiert wird.
Hier sind Kapitel I, II und III gut parallel zu Kashiwara-Schapiras Kapiteln 1, 2, 16 und 17 zu lesen. Die Darstellung in MacLane-Moerdijk ist etwas elementarer und daher gut zum Einstieg geeignet.
Elektronische Kopien dieser Bücher können auf Nachfrage zum privaten Gebrauch zur Verfügung gestellt werden.
Wir folgen
indem wir die Kategorie von Garben mittels der durch geometrische Einbettung gegebenen Homotopiekategorie definieren.
Für den 1-kategoriellen Kontext geben Kapitel V und VII in MacLane-Moerdijk die Diskussion von Garben per geometrischer Einbettung, und Kapitel 16 und 17 in Kashiwara-Schapira die Diskussion per Homotopiekategorie.
Daran schliesst sich natuerlich mit Theorem 1 in K. Brown’s alter Arbeit eine Überleitung zur Homotopiekategorie der -Stacks und dann mittels Dold-Kan die Beschreibung von abelscher Garbenkohomologie an.
Im folgenden sind die Veranstaltungstermine aufgelistet mit den behandelten Themen, jeweils soweit bereits absehbar.
Teil 0 – Überblick über zentrale Konzepte und Ziele der Veranstaltung
Teil I – kategorielle Grundlagen: mengenwertige Prägarben und Garben;
Teil II – homologische Algebra: derivierte und triangulierte Kategorien
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