Zoran Skoda
aksiomi planimetrije

Geometrija Euklidske ravnine (planimetrija) je u ovom pristupu opisana dvjema primitivnim objektima: pravcima i točkama (ravnine) i relacijom incidencije među nekim točkama i pravcima. Ako je pravac pp incidentan s točkom AA (ili obratno ako je točka AA incidentna s pravcem pp) mi kažemo i da točka AA leži na pravcu pp. Kažemo također da točke ravnine MM pripadaju ravnini MM, što se kasnije opravda kad se utvrdi da su pravci određeni točkama koje leže na njima, pa su i pravci i točke ravnine određeni samo točkama, dakle ravnina je opisana svojim točkama (i njihovim odnosima). Mi ovdje dajemo metričku aksiomatiku.

I Aksiomi incidencije (podudarnosti/pripadnosti)

I-1 Za svake dvije različite točke A,BA,B ravnine MM postoji jedinstveni pravac ravnine MM takav da AA i BB leže na njemu.

Taj pravac često označavamo jednostavno ABAB.

I-2 Na svakom pravcu leže bar tri različite točke.

U nekim aksiomatikama se traži da leže barem dvije, a za tri se dokaže uz pomoć ostalih aksioma kasnije. Aksiomi I-1 i I-2 nam kažu da na svakom pravcu postoji barem par točaka koje leže na njemu, a svaki par određuje pravac, dakle pravac je jednoznačno određen skupom točaka s kojima je incidentan. Pravac se kao primitivan pojam ne definira, no ovime smo zaključili kako se pravac može zamijeniti skupom točaka koje leže na njemu. Dakle za nas će pravac biti taj skup točaka, a ležati je u toj interpretaciji isto što i pripadati.

I-3 Postoje tri točke ravnine koje ne leže sve na istom pravcu (za svaku nn-torku točaka koje ne leže sve na istom pravcu kažemo da su nekolinearne).

II Aksiomi uređaja

Sjetimo se da je (nestrogi) (parcijalni) uređaj \leq na skupu SS binarna relacija koja je

  • tranzitivna, tj. ABA\leq B i BCB\leq C implicira ACA\leq C

  • refleksivna, tj. AAA\leq A

  • antisimetrična, tj. iz ABA\leq B i BAB\leq A slijedi A=BA = B

gdje su A,B,CA,B,C bilo koji elementi u SS.

Uređaj je linearan ili totalan ako su svaka dva elementa usporediva, tj. vrijedi ABA\leq B ili BAB\leq A za svaka dva elementa AA i BB.

Ako je 1\leq_1 uređaj i 2\leq_2 dva uređaja tada kažemo da su oni suprotni ako A 1BB 2AA\leq_1 B\equiv B\leq_2 A za svaki par točaka A,BSA,B\in S. Ako se uređaj označava s \leq, tada obično suprotni uređaj označavamo s \geq.

II-1 Za svaki pravac ravnine MM na skupu svih njegovih točaka zadana su dva međusobno suprotna uređaja

Mi naravno ne znamo koji od ta dva uređaja je prvi, a koji drugi, tj. koji ćemo interpretirati kao manji, a koji kao veći. Orijentirani pravac je pravac na kojem je jedan od ta dva uređaja odabran (pa ga možemo interpretirati kao \leq). Taj uređaj zovemo i orijentacijom pravca. Kažemo da AA leži ispred BB (ili BB leži iza AA; ili BB slijedi AA) ako ABA\leq B s obzirom na uređaj orijentiranog pravca. Neka je OO odabrana točka na orijentiranom pravcu (p,)(p,\leq). Tada skup svih točaka TpT\in p koje slijede OO u odnosu na taj uređaj (tj. OBO\leq B) zovemo polupravac s vrhom OO sa smislom orijentiranog pravca (p,)(p,\leq). Obično ne pišemo uređaj u oznaci orijentiranog pravca, kad god je taj uređaj jasan. Dakle p=(p,)p = (p,\leq) (prepojednostavljivanje označavanja). Polupravac određen s OO na orijentiranom pravcu (p,)(p,\leq) ćemo tada označavati s OpO p.

Ako je točka TT ravnine MM na pravcu ABAB i vrijedi A 1T 1BA\leq_1 T\leq_1 B ili A 2T 2BA\leq_2 T\leq_2 B tada kažemo da točka TT leži između točaka AA i BB. Skup svih točaka ravnine koje leže između dviju različitih točaka AA i BB zovemo dužina AB¯\overline{AB}. Podskup ravnine SMS\subset M je konveksan ako sa svakim parom različitih točaka A,BSA,B\in S sadrži i sve točke između AA i BB. Ako je SMS\subset M bilo koji podskup ravnine, tada postoji najmanji (u odnosu na inkluziju skupova) podskup ravnine convSMconv S\subset M koji je konveksan i koji sadrži MM (naime presjek familije svih podskupova ravnine koji su konveksni i koji sadrže SS; ta familija je neprazna jer MM je konveksna i sadrži SS). Trokut {A,B,C}\triangle\lbrace A,B,C\rbrace je najmanji konveksan skup koji sadrži tri nekolinarne točke A,B,CA,B,C. Toče A,B,CA,B,C zovemo vrhovima trokuta, a dužine AB¯,BC¯,CA¯\overline{AB},\overline{BC},\overline{CA} zovemo stranicama trokuta {A,B,C}\triangle\lbrace A,B,C\rbrace.

II-2 (Paschov aksiom) Ako pravac siječe jednu stranicu trokuta i ne prolazi ni jednim vrhom tada on siječe barem još jednu stranicu.

Posljedica Paschovog aksioma je

Propozicija. Ako pravac pp ne prolazi ni jednim vrhom trokuta ABCA B C tada on ne siječe sve tri stranice trokuta.

Kažemo da su dvije točke ravnine AA i BB koje ne leže na pravcu pp s iste strane pravca pp ako dužina AB¯\overline{A B} ne siječe pravac pp.

Propozicija. Biti s iste strane pravca pp je relacija ekvivalencije na skupu M\pM\backslash p i dijeli M\pM\backslash p na dvije klase ekvivalencije koje nazivamo otvorene poluravnine određene pravcom pp.

III Aksiomi udaljenosti

Zadana je funkcija d:M×Md:M\times M\to \mathbb{R} (koju zovemo udaljenost i) koja zadovoljava

III-1 (pozitivnost) d(A,B)0d(A,B)\geq 0 A,BM\forall A,B\in M i (nedegeneriranost) d(A,B)=0A=Bd(A,B) = 0 \Leftrightarrow A = B

III-2 (simetričnost) d(A,B)=d(B,A)d(A,B) = d(B,A) A,BM\forall A,B\in M

III-3a (nejednakost trokuta) d(A,C)d(A,B)+d(B,C)d(A,C) \leq d(A,B) + d(B,C) A,B,CM\forall A,B,C\in M

III-3b U nejednakosti trokuta jednakost vrijedi onda i samo onda ako je BB između AA i CC (tj. CAB¯C\in\overline{A B})

III-4 Za svaki polupravac OpO p s vrhom u točki OO i svaki realni broj r>0r\gt 0 postoji jedinstvena točka TT za koju vrijedi d(O,T)=rd(O,T) = r

Primijetimo da nismo trebali tražiti jedinstvenost. Naime, ako postoje dvije takve točke, recimo TT i TT' tada po linearnosti uređaja TTT\leq T' ili TTT''\leq T. U prvom slučaju TT leži između OO i TT'. Dakle d(O,T)+d(T,T)=d(O,T)d(O,T) + d(T,T') = d(O,T'), odnosno r+d(T,T)=rr + d(T,T') = r, dakle d(T,T)=0d(T,T') = 0 pa je po nedegeneriranosti udaljenosti u III-1 T=TT = T' (slično u drugom slučaju).

Ako je MM bilo koji skup na kojem je zadana funkcija d:M×Md :M\times M\to \mathbb{R} koja zadovoljava III-1, III-2, III-3a, tada kažemo da je par (M,d)(M,d) metrički prostor.

IV Aksiomi simetrije

Izometrija f:MMf:M\to M je svako preslikavanje ravnine (kao skupa točaka) u samu sebe koje čuva udaljenost, tj. d(A,B)=d(f(A),f(B))d(A,B) = d(f(A),f(B)) za sve parove točaka A,BMA,B\in M.

Lako je vidjeti da je svaka izometrija injekcija, jer ako je ABA\neq B tada je prema nedegeneriranosti III-1 0<d(A,B)=d(f(A),f(B))0 \lt d(A,B) = d(f(A), f(B)) pa su opet po III-1 f(A)f(B)f(A)\neq f(B). Kasnije će se pokazati da je svaka izometrija zapravo bijekcija.

Na osnovu III-3b se lako vidi da točke između AA i BB izometrija ff šalje u točke između f(A)f(A) i f(B)f(B) iz čega se može zaključiti da dužine šalje u dužine, pravce u pravce, orijentirane pravce u orijentirane pravce, polupravce u polupravce, nekolinearne točke u nekolinearne točke, konveksne skupove u konveksne skupove (i dakle trokute u trokute) te poluravnine u poluravnine.

IV-1 Za svaki pravac pp ravnine MM postoji jedinstvena izometrija s p:MMs_p:M\to M različita od identitete koja čuva sve točke na pravcu pojedinačno, tj. s p(T)=Ts_p(T) = T za sve TT koje leže na pp.

Izometriju s ps_p nazivamo osnom simetrijom s obzirom na pravac pp.

IV-2 Za svaki par (Ox,Oy)(O x,O y) polupravaca s istim vrhom OO postoji barem jedan pravac pp takav da s p(O x)=O ys_p(O_x) = O_y.

Osnovni teorem o izometrijama: svaka izometrija ravnine kompozicija je najviše tri osne simetrije, dakle ona može biti identiteta, oblika s ps_p, ili oblika s ps qs_p\circ s_q, ili oblika s ps qs rs_p\circ s_q\circ s_r gdje su p,q,rp,q,r pravci ravnine MM.

V Aksiom o paralelama

Kažemo da su pravci pp i qq paralelni i pišemo pqp\parallel q ako se pp i qq ne sijeku.

V Ako je pp pravac i AA točka van pravca pp tada postoji najviše jedan pravac qq na kojem leži AA i koji je paralelan s pp.

Last revised on September 27, 2018 at 10:00:00. See the history of this page for a list of all contributions to it.