Zoran Skoda aksiomi planimetrije

Geometrija Euklidske ravnine (planimetrija) je u ovom pristupu opisana dvjema primitivnim objektima: pravcima i točkama (ravnine) i relacijom incidencije među nekim točkama i pravcima. Ako je pravac $p$ incidentan s točkom $A$ (ili obratno ako je točka $A$ incidentna s pravcem $p$) mi kažemo i da točka $A$ leži na pravcu $p$. Kažemo također da točke ravnine $M$ pripadaju ravnini $M$, što se kasnije opravda kad se utvrdi da su pravci određeni točkama koje leže na njima, pa su i pravci i točke ravnine određeni samo točkama, dakle ravnina je opisana svojim točkama (i njihovim odnosima). Mi ovdje dajemo metričku aksiomatiku planimetrije prema knjizi Pavkovića i Veljana, prvi svezak. Usporedite i zapis prve lekcije mat2-230301.pdf. Osim aksiomatike ravnine, kasnije radimo i aksiomatiku prostora, vidi aksiomi stereometrije (Pavković i Veljan, drugi svezak).

I Aksiomi incidencije (podudarnosti/pripadnosti)

I-1 Za svake dvije različite točke $A,B$ ravnine $M$ postoji jedinstveni pravac ravnine $M$ takav da $A$ i $B$ leže na njemu.

Taj pravac često označavamo jednostavno $AB$.

I-2 Na svakom pravcu leže bar tri različite točke.

U nekim aksiomatikama se traži da leže barem dvije, a za tri se dokaže uz pomoć ostalih aksioma kasnije. Aksiomi I-1 i I-2 nam kažu da na svakom pravcu postoji barem par točaka koje leže na njemu, a svaki par određuje pravac, dakle pravac je jednoznačno određen skupom točaka s kojima je incidentan. Pravac se kao primitivan pojam ne definira, no ovime smo zaključili kako se pravac može zamijeniti skupom točaka koje leže na njemu. Dakle za nas će pravac biti taj skup točaka, a ležati je u toj interpretaciji isto što i pripadati.

I-3 Postoje tri točke ravnine koje ne leže sve na istom pravcu (za svaku $n$-torku točaka koje ne leže sve na istom pravcu kažemo da su nekolinearne).

II Aksiomi uređaja

Sjetimo se da je (nestrogi) (parcijalni) uređaj $\leq$ na skupu $S$ binarna relacija koja je

• tranzitivna, tj. $A\leq B$ i $B\leq C$ implicira $A\leq C$

• refleksivna, tj. $A\leq A$

• antisimetrična, tj. iz $A\leq B$ i $B\leq A$ slijedi $A = B$

gdje su $A,B,C$ bilo koji elementi u $S$.

Uređaj je linearan ili totalan ako su svaka dva elementa usporediva, tj. vrijedi $A\leq B$ ili $B\leq A$ za svaka dva elementa $A$ i $B$.

Ako je $\leq_1$ uređaj i $\leq_2$ dva uređaja tada kažemo da su oni suprotni ako $A\leq_1 B\equiv B\leq_2 A$ za svaki par točaka $A,B\in S$. Ako se uređaj označava s $\leq$, tada obično suprotni uređaj označavamo s $\geq$.

II-1 Za svaki pravac ravnine $M$ na skupu svih njegovih točaka zadana su dva međusobno suprotna uređaja

Mi naravno ne znamo koji od ta dva uređaja je prvi, a koji drugi, tj. koji ćemo interpretirati kao manji, a koji kao veći. Orijentirani pravac je pravac na kojem je jedan od ta dva uređaja odabran (pa ga možemo interpretirati kao $\leq$). Taj uređaj zovemo i orijentacijom pravca. Kažemo da $A$ leži ispred $B$ (ili $B$ leži iza $A$; ili $B$ slijedi $A$) ako $A\leq B$ s obzirom na uređaj orijentiranog pravca. Neka je $O$ odabrana točka na orijentiranom pravcu $(p,\leq)$. Tada skup svih točaka $T\in p$ koje slijede $O$ u odnosu na taj uređaj (tj. $O\leq B$) zovemo polupravac s vrhom $O$ sa smislom orijentiranog pravca $(p,\leq)$. Obično ne pišemo uređaj u oznaci orijentiranog pravca, kad god je taj uređaj jasan. Dakle $p = (p,\leq)$ (prepojednostavljivanje označavanja). Polupravac određen s $O$ na orijentiranom pravcu $(p,\leq)$ ćemo tada označavati s $O p$.

Ako je točka $T$ ravnine $M$ na pravcu $AB$ i vrijedi $A\leq_1 T\leq_1 B$ ili $A\leq_2 T\leq_2 B$ tada kažemo da točka $T$ leži između točaka $A$ i $B$. Skup svih točaka ravnine koje leže između dviju različitih točaka $A$ i $B$ zovemo dužina $\overline{AB}$. Podskup ravnine $S\subset M$ je konveksan ako sa svakim parom različitih točaka $A,B\in S$ sadrži i sve točke između $A$ i $B$. Ako je $S\subset M$ bilo koji podskup ravnine, tada postoji najmanji (u odnosu na inkluziju skupova) podskup ravnine $conv S\subset M$ koji je konveksan i koji sadrži $M$ (naime presjek familije svih podskupova ravnine koji su konveksni i koji sadrže $S$; ta familija je neprazna jer $M$ je konveksna i sadrži $S$). Trokut $\triangle\lbrace A,B,C\rbrace$ je najmanji konveksan skup koji sadrži tri nekolinarne točke $A,B,C$. Toče $A,B,C$ zovemo vrhovima trokuta, a dužine $\overline{AB},\overline{BC},\overline{CA}$ zovemo stranicama trokuta $\triangle\lbrace A,B,C\rbrace$.

II-2 (Paschov aksiom) Ako pravac siječe jednu stranicu trokuta i ne prolazi ni jednim vrhom tada on siječe barem još jednu stranicu.

Posljedica Paschovog aksioma je

Propozicija. Ako pravac $p$ ne prolazi ni jednim vrhom trokuta $A B C$ tada on ne siječe sve tri stranice trokuta.

Kažemo da su dvije točke ravnine $A$ i $B$ koje ne leže na pravcu $p$ s iste strane pravca $p$ ako dužina $\overline{A B}$ ne siječe pravac $p$.

Propozicija. Biti s iste strane pravca $p$ je relacija ekvivalencije na skupu $M\backslash p$ i dijeli $M\backslash p$ na dvije klase ekvivalencije koje nazivamo otvorene poluravnine određene pravcom $p$.

III Aksiomi udaljenosti

Zadana je funkcija $d:M\times M\to \mathbb{R}$ (koju zovemo udaljenost i) koja zadovoljava

III-1 (pozitivnost) $d(A,B)\geq 0$ $\forall A,B\in M$ i (nedegeneriranost) $d(A,B) = 0 \Leftrightarrow A = B$

III-2 (simetričnost) $d(A,B) = d(B,A)$ $\forall A,B\in M$

III-3a (nejednakost trokuta) $d(A,C) \leq d(A,B) + d(B,C)$ $\forall A,B,C\in M$

III-3b U nejednakosti trokuta jednakost vrijedi onda i samo onda ako je $B$ između $A$ i $C$ (tj. $C\in\overline{A B}$)

III-4 Za svaki polupravac $O p$ s vrhom u točki $O$ i svaki realni broj $r\gt 0$ postoji jedinstvena točka $T$ za koju vrijedi $d(O,T) = r$

Primijetimo da nismo trebali tražiti jedinstvenost. Naime, ako postoje dvije takve točke, recimo $T$ i $T'$ tada po linearnosti uređaja $T\leq T'$ ili $T''\leq T$. U prvom slučaju $T$ leži između $O$ i $T'$. Dakle $d(O,T) + d(T,T') = d(O,T')$, odnosno $r + d(T,T') = r$, dakle $d(T,T') = 0$ pa je po nedegeneriranosti udaljenosti u III-1 $T = T'$ (slično u drugom slučaju).

Ako je $M$ bilo koji skup na kojem je zadana funkcija $d :M\times M\to \mathbb{R}$ koja zadovoljava III-1, III-2, III-3a, tada kažemo da je par $(M,d)$ metrički prostor.

IV Aksiomi simetrije

Izometrija $f:M\to M$ je svako preslikavanje ravnine (kao skupa točaka) u samu sebe koje čuva udaljenost, tj. $d(A,B) = d(f(A),f(B))$ za sve parove točaka $A,B\in M$.

Lako je vidjeti da je svaka izometrija injekcija, jer ako je $A\neq B$ tada je prema nedegeneriranosti III-1 $0 \lt d(A,B) = d(f(A), f(B))$ pa su opet po III-1 $f(A)\neq f(B)$. Kasnije će se pokazati da je svaka izometrija zapravo bijekcija.

Na osnovu III-3b se lako vidi da točke između $A$ i $B$ izometrija $f$ šalje u točke između $f(A)$ i $f(B)$ iz čega se može zaključiti da dužine šalje u dužine, pravce u pravce, orijentirane pravce u orijentirane pravce, polupravce u polupravce, nekolinearne točke u nekolinearne točke, konveksne skupove u konveksne skupove (i dakle trokute u trokute) te poluravnine u poluravnine.

IV-1 Za svaki pravac $p$ ravnine $M$ postoji jedinstvena izometrija $s_p:M\to M$ različita od identitete koja čuva sve točke na pravcu pojedinačno, tj. $s_p(T) = T$ za sve $T$ koje leže na $p$.

Izometriju $s_p$ nazivamo osnom simetrijom s obzirom na pravac $p$.

IV-2 Za svaki par $(O x,O y)$ polupravaca s istim vrhom $O$ postoji barem jedan pravac $p$ takav da $s_p(O_x) = O_y$.

Par polupravaca s istim vrhom zove se kut (ista riječ se ponekad rabi za vezane ali složenije pojmove mjere kuta, orijentiranog kuta ili za kutni isječak) i označava u ovom slučaju $\angle x O y$.

Pokazuje se da je svaka osna simetrija involucija, tj. $s_p\circ s_p = id_M$ koja šalje jednu poluravninu u drugu poluravninu. Pokazuje se da je pravac iz aksioma IV-2 nužno jedinstven i zove se simetrala kuta $\angle x O y$. Pokazuje se da je za njega vrijedi i $s_p(O_y) = O_x$ i da $O\in p$.

Osnovni teorem o izometrijama: svaka izometrija ravnine kompozicija je najviše tri osne simetrije, dakle ona može biti identiteta, oblika $s_p$, ili oblika $s_p\circ s_q$, ili oblika $s_p\circ s_q\circ s_r$ gdje su $p,q,r$ pravci ravnine $M$.

V Aksiom o paralelama

Kažemo da su pravci $p$ i $q$ paralelni i pišemo $p\parallel q$ ako se $p$ i $q$ ne sijeku. Na osnovu dosad izrečenih aksioma, može se pokazati da za svaki pravac $p$ i točku $A$ van njega postoji barem jedan pravac koji prolazi kroz $A$ i ne siječe $p$. U euklidskoj geometriji takav je pravac zapravo jedinstven, ali postoje tzv. neeuklidske geometrije gdje nije. Radi toga se uvodi takozvani peti Euklidov aksiom o paralelama, u nešto moderniziranom obliku,

V Ako je $p$ pravac i $A$ točka van pravca $p$ tada postoji najviše jedan pravac $q$ na kojem leži $A$ i koji je paralelan s $p$.

category: zadarmat2