Zoran Skoda
funkcija realne varijable

Funkcija realne varijable je funkcije s podskupa skupa Dom(f)Dom(f)\subseteq\mathbb{R} realnih brojeva u podskup Kodom(f)Kodom(f)\subseteq\mathbb{R} skupa realnih brojeva.

Nakon ponavljanja skupa relanih brojeva radimo određivanje domene i kodomene za neke tipove funkcija, neka moguća svojstva realnih funkcija (periodičke/neperiodičke, parne, neparne i one koje nisu ni parne ni neparne, omeđene i neomeđene…), određivanje horizontalnih, vertikalnih i kosih asimptota realne funkcije.

Realna funkcija ff je parna ako za svaki xx iz njene domene x-x je također u njenoj domeni i vrijedi f(x)=f(x)f(-x) = f(x).

Realna funkcija ff je neparna ako za svaki xx iz njene domene x-x je također u njenoj domeni i vrijedi f(x)=f(x)f(-x) = -f(x).

Nekonstantna funkcija ff definirana na cijelom skupu realnih brojeva \mathbb{R} je periodička ako postoji pozitivni realni broj T>0T\gt 0, kojeg zovemo periodom funkcije ff, takav da za svaki xx\in\mathbb{R} vrijedi f(x+T)=f(x)f(x+T) = f(x). Ako je TT period, onda je naravno i svaki višekratnik period. Obično kad kažemo koliki je period neke periodičke funkcije mislimo na njen najmanji period. Konstantna funkcija je poseban slučaj – naravno ona nema najmanji period, ona je periodična za svaki T>0T\gt 0.

Funkcija ff je omeđena ako postoji pozitivni realni broj M>0M\gt 0 takav da je vrijednost M<f(x)<M-M\lt f(x)\lt M za svaki xx.

Najvažnija klasa funkcija realnih varijabli su elementarne funkcije. Grubo govoreći elementarne funkcije su funkcije realne varijable (ili kompleksne varijable) koje se pomoću osnovnih računskih operacija (zbrajanje, množenje, dijeljenje, oduzimanje) i kompozicije funkcija mogu dobiti od polinomijalnih funkcija, eksponencijalne funkcije, logaritamske funkcije, potenciranja, trigonometrijskih funkcija i inverznih trigonometrijskih funkcija. Kako su tu uračunate potencije na 1/n1/n to su nn-to korijeni ovdje. Ako funkcija nije elementarna onda je ona transcendentna.

Primjedba: Zapravo u elementarne funkcije se uračunavaju ne samo nn-ti korijeni nego funkcionalna zavisnost nula proizvoljnog polinoma od njegovih koeficijenata (algebarske funkcije). Taj slučaj za potpuno razumijevanje traži razmatranje funkcija kompleksne varijable i grananje tih rješenja.

Učimo skicirati graf realne funkcije (vidi pod funkcija). Poseban slučaj je graf inverzne funkcije (dobije se refleksijom od grafa of početne funkcije s obzirom na simetralu prvog i trećeg kvadranta, tj. s obzirom na pravac x=yx = y).

Važna klasa elementarnih funkcija koje smo detaljnije radili su linearne i kvadratne funkcije. Uz kvadratne funkcije je važna i kvadratna jednadžba i graf kvadratne funkcije, a to je parabola, tjeme parabole. Napravili smo jako kratki osvrt na druge kvadratne krivulje (elipsa i hiperbola).

Ponovite polinome i osnovni teorem algebre. Polinomijalne funkcije su jako važna klasa elementarnih funkcija.

  • racionalne funkcije (koje se daju napisati kao omjer dviju polinomijalnih funkcija), definicija, graf racionalne funkcije, određivanje njene domene i , kodomene, rastav na parcijalne razlomke

  • trigonometrijske funkcije, inverzne trigonometrijske funkcije

  • eksponencijalna funkcija xa xx\mapsto a^x s bazom a +a\in\mathbb{R}_+ (domena cijeli skup realnih brojeva \mathbb{R}), poseban slučaj kad je a=e=2.7182818...a = e = 2.7182818... (Eulerov broj, baza prirodnog logaritma). Osnovna svojstva ekponencijalne funkcije (najvažnije a x+x=a xa xa^{x+x'} = a^x \cdot a^{x'}), graf i primjene eksponencijalne funkcije.

  • nn-ti korijen, opća potencija xx ax\mapsto x^a za neki fiksni ekponent aa

  • logaritam, odnosno logaritamska funkcija

category: zadarmat3

Last revised on November 8, 2017 at 09:31:21. See the history of this page for a list of all contributions to it.