Zoran Skoda hom12lec1

U prvom predavanju opisana je literatura i grubi opis sadržaja kolegija.

Nakon toga dana je motivacija za pojam snopa, te naročito za strukturni snop neke geometrije te definicija snopa na topološkom prostoru.

Podrazumijeva se da slušači poznaju osnovne pojmove o topološkim prostorima uključujući pojmovi pokrivača, kompaktnosti, Hausdorffovosti. U prvom predavanju radi motivacije spominjemo niz pojmova koje nećemo detaljno definirati u ovom stadiju, no detalji nisu tu toliko bitni. Kasnije ćemo raditi pažljivije konzistentno. Između ostalog smatra se da čitatelji imaju neformalno znanje najosnovnijih definicija o kategorijama, sustavno ćemo ih napraviti u budućim predavanjima, vidi lecsCatCh0 za detaljniji uvod.

Malo motivacije

Dominantna ideja u modernoj geometriji je da na nekom tipu prostora možemo definirati objekte koji žive nad njim. Oni ujedno daju informaciju o prostoru, prostor je umnogome određen objektima koji se na njemu mogu pojaviti (nacrtati, živjeti). U algebarskoj geometriji gledamo funkcije polinmijalnog tipa, u diferencijalnoj diferencijabilne funkcije, u Npr. $C^\infty$ diferencijalna mnogostrukost $M$ je više nego samo prostor. Na njoj možemo naime definirati glatke funkcije. Točnije možemo definirati glatke funkcije na raznim otvorenim podskupovima $U\subset M$. Funkcije na otvorenom skupu $U$ čine vektorski prostor $C^\infty(U)$, koji je zapravo algebra, tj. funkcije možemo zbrajati i množiti po točkama: $(f\cdot g)(x) = f(x) g(x)$ i $(f + g)(x) = f(x) g(x)$ ako je $V\subset U$ tada definiramo preslikavanje restrikcije $r_{U V} : C^\infty(U)\to C^\infty(V)$ te za svaku trojku $W\subset V\subset U$ vrijedi $r_{U V}\circ r_{V W} = r_{U W}$ te $r_{U U} = id_{C^\infty(U)}$.

Slično možemo gledati kompleksnu $n$-dimenzionalnu analitičku mnogostrukost, tj. topološki prostor $M = M^n$ s atlasom $\{(U_\alpha,\phi_\alpha)\}_{\alpha\in A}$ gdje je $U^\alpha \subset M$ otvoreni podskup i $\phi_\alpha: U^\alpha\to \mathbf{C}^n$ homeomorpfizam na sliku $\phi_\alpha(U_\alpha)$ koja je otvoreni podskup od $\mathbb{C}^n$, sa svojstvom da su sve funkcije prijelaza

$$\phi_{\beta\alpha} = \phi_\beta\circ\phi_\alpha^{-1}|_{\phi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)} : \phi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)\to \phi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)$$

kompleksno analitičke (ekvivalentno, holomorfne) funkcije between subsets of $\mathbf{C}^n$. Tada definiramo za svaki otvoreni skup $U\subset M$ algebru analitičkih funkcija nad $U$, $C^\omega(U)$. Primjetimo da holomorfnih funkcija na $\mathbf{C}$ ima mnogo (sve cijele funkcije), dok holomorfnih funkcija na Riemannovoj sferi $\mathbf{C}P^1$ ima jako malo: samo konstante. Dakle $C^\omega(\mathbf{C}P^n)\cong C^\omega(\star)$ gdje je $\star$ točka, kao $0$-dimenzionalna mnogostrukost. Dakle globalna algebra analitičkih funkcija nekad ima malo informacija dok ima više funkcija lokalno. Zaista, $\mathbf{C}P^1$ ima dvije karte, sve bez južnog i sve bez sjevernog pola, i obje su biholomorfne $\mathbf{C}$ te na njima ima mnogo holomorfnih funkcija.

Geljfand-Najmarkov teorem

Intuicija da se prostor da do neke mjere rekonstruirati iz algebre funkcija na njemu je ponekad doslovno točna. Osnovni primjer je dan Geljfand-Najmarkovim teoremom iz 1938.

Neka je $X$ Hausdorffov kompaktan topološki prostor (Geljfand-Najmarkov teorem se bavi općenitije slučajem lokalno kompaktnih topoloških prostora, no tada je formulacija teža jer umjesto svih funkcija treba gledati funkcije koje iščezavaju u beskonačnosti, nema jedinice i morfizmi su kompliciraniji za definirati). Kompleksni vektorski prostor $C(X)$ neprekidnih kompleksnoznačnih funkcija $X\to\mathbb{C}$ je komutativna unitalna $C^\ast$-algebra. To znači da je algebra nad $\mathbb{C}$ zbrajanjem i množenjem po točkama, s jediničnim elementom koji je konstanta $x\mapsto 1$. Ta algebra ima involuciju, naime kompleksnu konjugaciju po točkama, s obzirom na koju postaje $\ast$-algebra (algebra s involucijom). Kao vektorski prostor $C(X)$ je opremljen normom $\|f\| = sup_{x\in X} |f(x)|$ (kako je prostor kompaktni supremum je u stvari maksimum) s obzirom na koji je potpun, j. postaje Banachov vektorski prostor, te štoviše Banachova algebra, tj. $\|f g\| \leq \|f\| \|g\|$. Nadalje vrijedi uvjet $\|f^\ast f\| = \|f \|^2$. tj. ta Banachova $\ast$-algebra je u stvari komutativna i unitalna $C^\ast$-algebra.

Morfizmi $C^\ast$-algebri su neprekidni homomorfizmi algebri koji komutiraju s involucijom. Geljfand-Naimarkov teorem kaže da je kategorija $C^\ast$-algebri i njihovih morfizama antiekvivalentna kategoriji kompaktnih Hausdorfovih topoloških prostora i neprekidnih preslikavanja. U jednom smjeru topološkom prostoru $X$ pridružimo $C^\st$-algebru $C(X)$. U drugom smjeru $C^\ast$-algebri $A$ pridružimo tzv. Geljfandov spektar $GelSpec(A)$ koji je topološki prostor čije točke su neprekidni karakteri na $A$, tj. neprekidne funkcije $\chi : A\to\mathbf{C}\backslash\{0\}$ za koje vrijedi $\chi (f g) = \chi (f)\chi(g)$ $\forall f,g\in A$ i $\chi(f) \neq 0$. Na skupu neprekidnih karaktera dana je tzv. spektralna topologija za čiji tretman treba znati pomalo spektralne teorije Banachovih algebri, a rezultat je uvijek Hausdorffov. Geljfandov spektar ima smisla i za nekomutativne algebre, no za njih gubimo dio informacija.

Pojam snopa

Neka je $(B,\tau)$ topološki prostor. Označimo s $\mathrm{Ouv}_{(B,\tau)} = \mathrm{Ouv}_B$ malu
kategoriju kojoj su objekti otvoreni podskupovi u $B$, a morfizmi ulaganja otvorenih podskupova $i=i_{V U}:U\hookrightarrow V$.

Kažemo da je familija objekata $\mathcal{U} = \{U_i\}_{i\in I}$ pokrivač u $\mathrm{Ouv}_B$ pokrivač objekta $U$ ako $\cup_i U_i = U$.

Predsnop $P$ nad topološkim prostorom $B$, s vrijednostima u kategoriji $\mathcal{C}$ je predsnop iz male kategorije $\mathrm{Ouv}_B$ (tj. kontravarijantni funktor) u $\mathcal{C}$. Prirodne transformacije su morfizmi predsnopova nad $B$. Predsnopovi nad $B$ i njihove transformacije čine kategoriju $\mathbf{PFas}_B$.

Ako je $P:\mathrm{Ouv}_B^0\to \Set$ predsnop skupova i $i: V\hookrightarrow U$, tada ćemo morfizam $P(i_{U V}):P(U)\to P(V)$ u $\Set$ označavati i s $r_{U V}$ ili s $x\mapsto x|_V$ i zvati restrikcija s $U$ na $V$. Elementi skupa $P(U)$ se nazivaju i prerezi (ili sekcije) predsnopa $P$ nad $U$}.

Separirani predsnop skupova (ili, rjeđe korišten termin, monopredsnop) nad topološkim prostorom $(B,\tau)$ je predsnop $P:\mathrm{Ouv}_B^0\to \Set$ takav da za svaki pokrivač $\mathcal{U}$ od $U$, i svaka dva različita elementa $x\neq y$ u $P(U)$ postoji $i$ takav da je $x|_{U_i}\neq y|_{U_i}$.

Epipredsnop skupova je predsnop $P:\mathrm{Ouv}_B^0\to \Set$ takav da za svaki pokrivač $\mathcal{U}$ od $U$, ukoliko je $\{x_i\}_i$ familija elemenata $x_i\in P(U_i)$ i vrijedi $x_i|_{U_i\cap U_j} = x_j|_{U_i\cap U_j}$, tada postoji $x$ u $P(U)$ takav da je $x|_{U_i} = x_i$.

Definicija. Snop skupova je separirani epipredsnop skupova.

Opisno, to znači da prereze na uniji porodice otvorenih podskupova možemo na jedinstveni način polijepiti od prereza na svakom komadu, ukoliko se restrikcije potonjih podudaraju na presjeku svakog para otvorenih skupova iz porodice.

Oni koji znaju teoriju limesa u kategorijama (koju ćemo uskoro napraviti na predavanjima), ovu definiciju mogu izreći i ovako: snop je predsnop $P$ takav da je za svaki pokrivač $\mathcal{U} = \{U_i\}_{i\in I}$ od $U$ dijagram

ujednačitelj paralelnog para dva očita prirodna morfizma sastavljenih od restrikcija $\prod_{i j} (r_{U_i,U_{i j}})$ i $\prod_{i j} (r_{U_j, U_{i j}})$. Ta definicija ima smisla za predsnopove s vrijednostima u bilo kojoj zatvorenoj kategoriji $\mathcal{C}$ (umjesto $\Set$) u kojoj ujednačitelji paralelnih parova postoje, npr. u kategoriji grupa $\mathbf{Grp}$ ili kategoriji Abelovih grupa $\mathbf{Ab}$.