Zoran Skoda
hom12lec1

U prvom predavanju opisana je literatura i grubi opis sadržaja kolegija.

Nakon toga dana je motivacija za pojam snopa, te naročito za strukturni snop neke geometrije te definicija snopa na topološkom prostoru.

Podrazumijeva se da slušači poznaju osnovne pojmove o topološkim prostorima uključujući pojmovi pokrivača, kompaktnosti, Hausdorffovosti. U prvom predavanju radi motivacije spominjemo niz pojmova koje nećemo detaljno definirati u ovom stadiju, no detalji nisu tu toliko bitni. Kasnije ćemo raditi pažljivije konzistentno. Između ostalog smatra se da čitatelji imaju neformalno znanje najosnovnijih definicija o kategorijama, sustavno ćemo ih napraviti u budućim predavanjima, vidi lecsCatCh0 za detaljniji uvod.

Malo motivacije

Dominantna ideja u modernoj geometriji je da na nekom tipu prostora možemo definirati objekte koji žive nad njim. Oni ujedno daju informaciju o prostoru, prostor je umnogome određen objektima koji se na njemu mogu pojaviti (nacrtati, živjeti). U algebarskoj geometriji gledamo funkcije polinmijalnog tipa, u diferencijalnoj diferencijabilne funkcije, u Npr. C C^\infty diferencijalna mnogostrukost MM je više nego samo prostor. Na njoj možemo naime definirati glatke funkcije. Točnije možemo definirati glatke funkcije na raznim otvorenim podskupovima UMU\subset M. Funkcije na otvorenom skupu UU čine vektorski prostor C (U)C^\infty(U), koji je zapravo algebra, tj. funkcije možemo zbrajati i množiti po točkama: (fg)(x)=f(x)g(x)(f\cdot g)(x) = f(x) g(x) i (f+g)(x)=f(x)g(x)(f + g)(x) = f(x) g(x) ako je VUV\subset U tada definiramo preslikavanje restrikcije r UV:C (U)C (V)r_{U V} : C^\infty(U)\to C^\infty(V) te za svaku trojku WVUW\subset V\subset U vrijedi r UVr VW=r UWr_{U V}\circ r_{V W} = r_{U W} te r UU=id C (U)r_{U U} = id_{C^\infty(U)}.

Slično možemo gledati kompleksnu nn-dimenzionalnu analitičku mnogostrukost, tj. topološki prostor M=M nM = M^n s atlasom {(U α,ϕ α)} αA\{(U_\alpha,\phi_\alpha)\}_{\alpha\in A} gdje je U αMU^\alpha \subset M otvoreni podskup i ϕ α:U αC n\phi_\alpha: U^\alpha\to \mathbf{C}^n homeomorpfizam na sliku ϕ α(U α)\phi_\alpha(U_\alpha) koja je otvoreni podskup od n\mathbb{C}^n, sa svojstvom da su sve funkcije prijelaza

ϕ βα=ϕ βϕ α 1| ϕ α(U αU β):ϕ α(U αU β)ϕ β(U αU β)\phi_{\beta\alpha} = \phi_\beta\circ\phi_\alpha^{-1}|_{\phi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)} : \phi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)\to \phi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)

kompleksno analitičke (ekvivalentno, holomorfne) funkcije between subsets of C n\mathbf{C}^n. Tada definiramo za svaki otvoreni skup UMU\subset M algebru analitičkih funkcija nad UU, C ω(U)C^\omega(U). Primjetimo da holomorfnih funkcija na C\mathbf{C} ima mnogo (sve cijele funkcije), dok holomorfnih funkcija na Riemannovoj sferi CP 1\mathbf{C}P^1 ima jako malo: samo konstante. Dakle C ω(CP n)C ω()C^\omega(\mathbf{C}P^n)\cong C^\omega(\star) gdje je \star točka, kao 00-dimenzionalna mnogostrukost. Dakle globalna algebra analitičkih funkcija nekad ima malo informacija dok ima više funkcija lokalno. Zaista, CP 1\mathbf{C}P^1 ima dvije karte, sve bez južnog i sve bez sjevernog pola, i obje su biholomorfne C\mathbf{C} te na njima ima mnogo holomorfnih funkcija.

Geljfand-Najmarkov teorem

Intuicija da se prostor da do neke mjere rekonstruirati iz algebre funkcija na njemu je ponekad doslovno točna. Osnovni primjer je dan Geljfand-Najmarkovim teoremom iz 1938.

Neka je XX Hausdorffov kompaktan topološki prostor (Geljfand-Najmarkov teorem se bavi općenitije slučajem lokalno kompaktnih topoloških prostora, no tada je formulacija teža jer umjesto svih funkcija treba gledati funkcije koje iščezavaju u beskonačnosti, nema jedinice i morfizmi su kompliciraniji za definirati). Kompleksni vektorski prostor C(X)C(X) neprekidnih kompleksnoznačnih funkcija XX\to\mathbb{C} je komutativna unitalna C *C^\ast-algebra. To znači da je algebra nad \mathbb{C} zbrajanjem i množenjem po točkama, s jediničnim elementom koji je konstanta x1x\mapsto 1. Ta algebra ima involuciju, naime kompleksnu konjugaciju po točkama, s obzirom na koju postaje *\ast-algebra (algebra s involucijom). Kao vektorski prostor C(X)C(X) je opremljen normom f=sup xX|f(x)|\|f\| = sup_{x\in X} |f(x)| (kako je prostor kompaktni supremum je u stvari maksimum) s obzirom na koji je potpun, j. postaje Banachov vektorski prostor, te štoviše Banachova algebra, tj. fgfg\|f g\| \leq \|f\| \|g\|. Nadalje vrijedi uvjet f *f=f 2\|f^\ast f\| = \|f \|^2. tj. ta Banachova *\ast-algebra je u stvari komutativna i unitalna C *C^\ast-algebra.

Morfizmi C *C^\ast-algebri su neprekidni homomorfizmi algebri koji komutiraju s involucijom. Geljfand-Naimarkov teorem kaže da je kategorija C *C^\ast-algebri i njihovih morfizama antiekvivalentna kategoriji kompaktnih Hausdorfovih topoloških prostora i neprekidnih preslikavanja. U jednom smjeru topološkom prostoru XX pridružimo C stC^\st-algebru C(X)C(X). U drugom smjeru C *C^\ast-algebri AA pridružimo tzv. Geljfandov spektar GelSpec(A)GelSpec(A) koji je topološki prostor čije točke su neprekidni karakteri na AA, tj. neprekidne funkcije χ:AC\{0}\chi : A\to\mathbf{C}\backslash\{0\} za koje vrijedi χ(fg)=χ(f)χ(g)\chi (f g) = \chi (f)\chi(g) f,gA\forall f,g\in A i χ(f)0\chi(f) \neq 0. Na skupu neprekidnih karaktera dana je tzv. spektralna topologija za čiji tretman treba znati pomalo spektralne teorije Banachovih algebri, a rezultat je uvijek Hausdorffov. Geljfandov spektar ima smisla i za nekomutativne algebre, no za njih gubimo dio informacija.

Pojam snopa

Neka je (B,τ)(B,\tau) topološki prostor. Označimo s Ouv (B,τ)=Ouv B\mathrm{Ouv}_{(B,\tau)} = \mathrm{Ouv}_B malu
kategoriju kojoj su objekti otvoreni podskupovi u BB, a morfizmi ulaganja otvorenih podskupova i=i VU:UVi=i_{V U}:U\hookrightarrow V.

Kažemo da je familija objekata 𝒰={U i} iI\mathcal{U} = \{U_i\}_{i\in I} pokrivač u Ouv B\mathrm{Ouv}_B pokrivač objekta UU ako iU i=U\cup_i U_i = U.

Predsnop PP nad topološkim prostorom BB, s vrijednostima u kategoriji 𝒞\mathcal{C} je predsnop iz male kategorije Ouv B\mathrm{Ouv}_B (tj. kontravarijantni funktor) u 𝒞\mathcal{C}. Prirodne transformacije su morfizmi predsnopova nad BB. Predsnopovi nad BB i njihove transformacije čine kategoriju PFas B\mathbf{PFas}_B.

Ako je P:Ouv B 0SetP:\mathrm{Ouv}_B^0\to \Set predsnop skupova i i:VUi: V\hookrightarrow U, tada ćemo morfizam P(i UV):P(U)P(V)P(i_{U V}):P(U)\to P(V) u Set\Set označavati i s r UVr_{U V} ili s xx| Vx\mapsto x|_V i zvati restrikcija s UU na VV. Elementi skupa P(U)P(U) se nazivaju i prerezi (ili sekcije) predsnopa PP nad UU}.

Separirani predsnop skupova (ili, rjeđe korišten termin, monopredsnop) nad topološkim prostorom (B,τ)(B,\tau) je predsnop P:Ouv B 0SetP:\mathrm{Ouv}_B^0\to \Set takav da za svaki pokrivač 𝒰\mathcal{U} od UU, i svaka dva različita elementa xyx\neq y u P(U)P(U) postoji ii takav da je x| U iy| U ix|_{U_i}\neq y|_{U_i}.

Epipredsnop skupova je predsnop P:Ouv B 0SetP:\mathrm{Ouv}_B^0\to \Set takav da za svaki pokrivač 𝒰\mathcal{U} od UU, ukoliko je {x i} i\{x_i\}_i familija elemenata x iP(U i)x_i\in P(U_i) i vrijedi x i| U iU j=x j| U iU jx_i|_{U_i\cap U_j} = x_j|_{U_i\cap U_j}, tada postoji xx u P(U)P(U) takav da je x| U i=x ix|_{U_i} = x_i.

Definicija. Snop skupova je separirani epipredsnop skupova.

Opisno, to znači da prereze na uniji porodice otvorenih podskupova možemo na jedinstveni način polijepiti od prereza na svakom komadu, ukoliko se restrikcije potonjih podudaraju na presjeku svakog para otvorenih skupova iz porodice.

Oni koji znaju teoriju limesa u kategorijama (koju ćemo uskoro napraviti na predavanjima), ovu definiciju mogu izreći i ovako: snop je predsnop PP takav da je za svaki pokrivač 𝒰={U i} iI\mathcal{U} = \{U_i\}_{i\in I} od UU dijagram

ujednačitelj paralelnog para dva očita prirodna morfizma sastavljenih od restrikcija ij(r U i,U ij)\prod_{i j} (r_{U_i,U_{i j}}) i ij(r U j,U ij)\prod_{i j} (r_{U_j, U_{i j}}). Ta definicija ima smisla za predsnopove s vrijednostima u bilo kojoj zatvorenoj kategoriji 𝒞\mathcal{C} (umjesto Set\Set) u kojoj ujednačitelji paralelnih parova postoje, npr. u kategoriji grupa Grp\mathbf{Grp} ili kategoriji Abelovih grupa Ab\mathbf{Ab}.

Last revised on November 9, 2012 at 03:01:59. See the history of this page for a list of all contributions to it.