Zoran Skoda
m1 sample 2017

Da bi dali više primjera ovaj primjer je dvostruko dulji od testa kakav će biti na ispitu. Za zadatke sa skupovima, logikom, najvećom zajedničkom mjerom i najmanjim zajedničkim višekratnikom, te naročito za zadatke s kamatama, pogledajte testove od lani na zadarmat1.

1 Koliko ima injekcija sa skupa od 44 elementa u skup od 66 elemenata.

Rješenje: za prvi element mogu birati jedan od 66 elemenata u drugom skupu, kako se radi o injekciji za drugi element mogu birati samo jedan od 55 preostala i tako dalje. Dakle 6×5×4×36\times 5 \times 4\times 3.

2 Napiši realni i imaginarni dio kompleksnog broja zz koji se dobije dijeljenjem 2i3+5i\frac{2 - i}{3 + 5 i}.

Rješenje: pomnožimo s 35i35i\frac{3- 5 i}{3 - 5i} i dobijemo

(2i)(35i)9+25=126+1326i \frac{(2-i)(3-5i)}{9+25} = \frac{1}{26} + \frac{-13}{26} i

dakle Re(z)=126Re(z) = \frac{1}{26} i Im(z)=1326Im(z) = \frac{-13}{26}.

4 Nađi razliku skupova (A×B)\(B×A)(A\times B) \backslash (B\times A) gdje su A×BA\times B i B×AB\times A Kartezijevi produkti, A={3,b}A = \{3,b\}, B={2,b,4}B = \{2,b,4\}.

Rješenje: {(3,2),(3,b),(3,4),(b,2),(b,4)}\{(3,2),(3,b),(3,4),(b,2),(b,4)\}

5 Ako bacamo igraću kocku 55 puta, kolika je vjerovatnost da dobijemo

a) 33 točno tri puta

b) 33 najviše tri puta

Rješenje: vjetrojatnost je broj povoljnih kroz broj mogućih slučajeva, kad god su svi slučajevi jednako vjerojatni. Dakle imamo 6×6×6×6×66\times 6 \times 6 \times 6\times 6 mogućnosti za niz od 55 bacanja. U prvom slučaju povoljne su mogućnosti u kojima imamo točno tri trice. Te tri trice mogu biti u bilo koja 33 od 55 pokušaja koje možemo odabrati na (5 3)=543321=10\left(\array{5\\3}\right) = \frac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot 2\cdot 1} = 10 načina (vidi prebrojavanje), a za preostala dva bacanja imamo na raspolaganju po 55 mogućnosti koje nisu trice. Dakle, vjerojatnost je u dijelu a)

P=10×5×56 5 P = \frac{10\times 5\times 5}{6^5}

U dijelu b) moramo pod povoljne mogućnosti dodati slučaj s dvije trice (5 2)555\left(\array{5\\2}\right)\cdot 5\cdot 5\cdot 5, s jednom tricom (5 1)5 4\left(\array{5\\1}\right)\cdot 5^4 i bez trica 555555\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5.

6 Dokaži matematičkom indukcijom da

112+123+134+.....+nn(n+1)=nn+1 \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ..... + \frac{n}{n\cdot (n + 1)} = \frac{n}{n + 1}

7 a) Kada kažemo za aksiomatsku teoriju da je proturječiva ?

b) Koji su elementi definicije u smislu Aristotela ?

8 Koliko permutacija ima skup od 66 elemenata ?

9 U bazi 55 neki broj je (123) 5(123)_{5}. Napiši taj broj u dekadskom sustavu.

10 Napiši .1234343434.1234343434\ldots kao razlomak.

11 Izračunaj u obliku razlomka p/qp/q gdje su pp i qq cijeli brojevi:

12+235(23) 2 \frac{1}{2} + \frac{2}{\frac{3}{5}} - \left(\frac{2}{3}\right)^2

Rješenje: 12+10349=9+30818=3118\frac{1}{2}+\frac{10}{3}-\frac{4}{9} = \frac{9+30-8}{18}=\frac{31}{18}$

12 (razmjerne veličine) Ako dva konja za dva dana pojedu 4/34/3 bale sijena koliko bala sijena pojedu 3 konja za tri dana ?

Rješenje: 433×32×2=32\frac{4}{3}\cdot \frac{3\times 3}{2\times 2} = \frac{3}{2}

13 (račun smjese) Ako pomiješamo 33 litre 2020-postotnog alkohola i 44 litre 5050-postotnog, koliko posto će alkohol biti u smjesi ?

Rješenje: (3×20+4×50)/(3+4)=260/7=37.14287(3\times 20 + 4\times 50)/(3+4) = 260/7 = 37.14287\ldots posto.

14 (razmjerne veličine) Ako za pet stranica teksta moramo tipkati 7 sati, koliko vremena trebamo tipkati 66 stranica ?

Uputa: 7:5=x:67:5 = x : 6. Dakle x=42/5x = 42/5 sati, tj. 88 sati i 2424 minute.

15 (obrnuto razmjerne veličine) Ako tri čovjeka naprave posao za 5 sati, za koliko vremena taj isti posao napravi 6 ljudi ?

53=X65\cdot 3 = X \cdot 6, dakle X=2.5X = 2.5 sata.

16 Neka funkcija f:NNf:\mathbf{N}\to\mathbf{N} je definirana rekurzijom ovako:

f(1)=f(2)=1f(1) = f(2) = 1 i ako k>3k\gt 3 tada je f(k)=k+f(k1)f(k2)f(k) = k + f(k-1) - f(k-2).

Izračunaj f(4)f(4).

Rješenje: f(4)=4+f(3)f(2)f(4) = 4 + f(3)-f(2), a f(3)=3+f(2)+f(1)=3+11=3f(3) = 3 + f(2)+f(1) = 3+1-1 = 3, pa je f(4)=4+31=6f(4) = 4 + 3 - 1 = 6.

17 Koji je razlomak veći: 23\frac{2}{-3} ili 57\frac{-5}{7} u odnosu na standardni uređaj na skupu racionalnih brojeva Q\mathbf{Q} ?

Rješenje: ako oduzmemo 2357=14+1521=121>0\frac{2}{-3}-\frac{-5}{7} = \frac{-14+15}{21} = \frac{1}{21}\gt 0. Dakle, 23>57\frac{2}{-3}\gt\frac{-5}{-7}.

18 Nekoliko teorijskih pitanja:

a) Objasni što je to disjunktna unije skupova.

b) Kakva je razlika između skupa elemenata i familije elemenata iz nekog skupa SS ?

c) Raspiši pokratu !x\exists ! x u terminima logičkih operacija, kvantifikatora i predikata jednakosti.

19 Neka je N\mathbf{N} skup prirodnih brojeva {1,2,3,}\{1,2,3,\ldots\}. Neka su funkcije f,g:f,g:\mathbb{N}\to\mathbb{N} dane formulama

f(n)={n+3, nparan 2n1, nneparan.f(n) = \left\lbrace\array{ n+3, &n\,\,\,\,\,paran \\ 2 n - 1, &n\,\,\,neparan.}\right.

i g(n)=n+2g(n) = n+2 za sve nn\in\mathbb{N}. Nadji funkcije h=fgh = f\circ g i k=gfk = g\circ f.

Last revised on January 28, 2018 at 14:21:04. See the history of this page for a list of all contributions to it.