Zoran Skoda m1 sample 2017

Da bi dali više primjera ovaj primjer je dvostruko dulji od testa kakav će biti na ispitu. Za zadatke sa skupovima, logikom, najvećom zajedničkom mjerom i najmanjim zajedničkim višekratnikom, te naročito za zadatke s kamatama, pogledajte testove od lani na zadarmat1.

1 Koliko ima injekcija sa skupa od $4$ elementa u skup od $6$ elemenata.

Rješenje: za prvi element mogu birati jedan od $6$ elemenata u drugom skupu, kako se radi o injekciji za drugi element mogu birati samo jedan od $5$ preostala i tako dalje. Dakle $6\times 5 \times 4\times 3$.

2 Napiši realni i imaginarni dio kompleksnog broja $z$ koji se dobije dijeljenjem $\frac{2 - i}{3 + 5 i}$.

Rješenje: pomnožimo s $\frac{3- 5 i}{3 - 5i}$ i dobijemo

$$\frac{(2-i)(3-5i)}{9+25} = \frac{1}{26} + \frac{-13}{26} i$$

dakle $Re(z) = \frac{1}{26}$ i $Im(z) = \frac{-13}{26}$.

4 Nađi razliku skupova $(A\times B) \backslash (B\times A)$ gdje su $A\times B$ i $B\times A$ Kartezijevi produkti, $A = \{3,b\}$, $B = \{2,b,4\}$.

Rješenje: $\{(3,2),(3,b),(3,4),(b,2),(b,4)\}$

5 Ako bacamo igraću kocku $5$ puta, kolika je vjerovatnost da dobijemo

a) $3$ točno tri puta

b) $3$ najviše tri puta

Rješenje: vjerojatnost je broj povoljnih kroz broj mogućih slučajeva, kad god su svi slučajevi jednako vjerojatni. Dakle imamo $6\times 6 \times 6 \times 6\times 6$ mogućnosti za niz od $5$ bacanja. U prvom slučaju povoljne su mogućnosti u kojima imamo točno tri trice. Te tri trice mogu biti u bilo koja $3$ od $5$ pokušaja koje možemo odabrati na $\left(\array{5\\3}\right) = \frac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot 2\cdot 1} = 10$ načina (vidi prebrojavanje), a za preostala dva bacanja imamo na raspolaganju po $5$ mogućnosti koje nisu trice. Dakle, vjerojatnost je u dijelu a)

$$P = \frac{10\times 5\times 5}{6^5}$$

U dijelu b) moramo pod povoljne mogućnosti dodati slučaj s dvije trice $\left(\array{5\\2}\right)\cdot 5\cdot 5\cdot 5$, s jednom tricom $\left(\array{5\\1}\right)\cdot 5^4$ i bez trica $5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5$.

6 Dokaži matematičkom indukcijom da

$$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ..... + \frac{n}{n\cdot (n + 1)} = \frac{n}{n + 1}$$

7 a) Kada kažemo za aksiomatsku teoriju da je proturječiva ?

b) Koji su elementi definicije u smislu Aristotela ?

8 Koliko permutacija ima skup od $6$ elemenata ?

9 U bazi $5$ neki broj je $(123)_{5}$. Napiši taj broj u dekadskom sustavu.

10 Napiši $.1234343434\ldots$ kao razlomak.

11 Izračunaj u obliku razlomka $p/q$ gdje su $p$ i $q$ cijeli brojevi:

$$\frac{1}{2} + \frac{2}{\frac{3}{5}} - \left(\frac{2}{3}\right)^2$$

Rješenje: $\frac{1}{2}+\frac{10}{3}-\frac{4}{9} = \frac{9+30-8}{18}=\frac{31}{18}$

12 (razmjerne veličine) Ako dva konja za dva dana pojedu $4/3$ bale sijena koliko bala sijena pojedu 3 konja za tri dana ?

Rješenje: $\frac{4}{3}\cdot \frac{3\times 3}{2\times 2} = \frac{3}{2}$

13 (račun smjese) Ako pomiješamo $3$ litre $20$-postotnog alkohola i $4$ litre $50$-postotnog, koliko posto će alkohol biti u smjesi ?

Rješenje: $(3\times 20 + 4\times 50)/(3+4) = 260/7 = 37.14287\ldots$ posto.

14 (razmjerne veličine) Ako za pet stranica teksta moramo tipkati 7 sati, koliko vremena trebamo tipkati $6$ stranica ?

Uputa: $7:5 = x : 6$. Dakle $x = 42/5$ sati, tj. $8$ sati i $24$ minute.

15 (obrnuto razmjerne veličine) Ako tri čovjeka naprave posao za 5 sati, za koliko vremena taj isti posao napravi 6 ljudi ?

$5\cdot 3 = X \cdot 6$, dakle $X = 2.5$ sata.

16 Neka funkcija $f:\mathbf{N}\to\mathbf{N}$ je definirana rekurzijom ovako:

$f(1) = f(2) = 1$ i ako $k\geq 3$ tada je $f(k) = k + f(k-1) - f(k-2)$.

Izračunaj $f(4)$.

Rješenje: $f(4) = 4 + f(3)-f(2)$, a $f(3) = 3 + f(2)+f(1) = 3+1-1 = 3$, pa je $f(4) = 4 + 3 - 1 = 6$.

17 Koji je razlomak veći: $\frac{2}{-3}$ ili $\frac{-5}{7}$ u odnosu na standardni uređaj na skupu racionalnih brojeva $\mathbf{Q}$ ?

Rješenje: ako oduzmemo $\frac{2}{-3}-\frac{-5}{7} = \frac{-14+15}{21} = \frac{1}{21}\gt 0$. Dakle, $\frac{2}{-3}\gt\frac{-5}{-7}$.

18 Nekoliko teorijskih pitanja:

a) Objasni što je to disjunktna unije skupova.

b) Kakva je razlika između skupa elemenata i familije elemenata iz nekog skupa $S$ ?

c) Raspiši pokratu $\exists ! x$ u terminima logičkih operacija, kvantifikatora i predikata jednakosti.

19 Neka je $\mathbf{N}$ skup prirodnih brojeva $\{1,2,3,\ldots\}$. Neka su funkcije $f,g:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ dane formulama

$$f(n) = \left\lbrace\array{ n+3, &n\,\,\,\,\,paran \\ 2 n - 1, &n\,\,\,neparan.}\right.$$

i $g(n) = n+2$ za sve $n\in\mathbb{N}$. Nadji funkcije $h = f\circ g$ i $k = g\circ f$.