Zoran Skoda mat4-040321

zadarmat4, bilješke s lekcije od 4.4.2021.

kvaternioni (Hamilton, 19. stoljeće)

primjer nekomutativne grupe koja je konačna

kompleksni brojevi $a 1+b i$, $i^2 = -1$

$a,b$ su realni brojevi $\{1,i\}$ nije zatvoreno na množenje

Skup {1,i,-1,-i} je zatvoren na množenje i to je Abelova grupa (tzv. Kleinova grupa).

1 puta 1, 1 puta i, i puta 1, i puta i

1,i,-1,-i svi kompleksni brojevi su kombinacije takvih s koeficijentima koji su pozitivni realni brojevi ili nula

množimo npr. (b i)(d i) = b d i^2 = -b d 1

K = {1,i,j,k,-1,-i,-j,-k} množimo

i i = j j = k k = -1

i j = k, j k = i, k i = j,

j i = -k, k j = -i, i k = -j

-1 k = -k… K postoji nekomutativna grupa od 8 elemenata!

$\mathbf{H} = \{a i+ b j + c k + d 1\}$, gdje su a,b,c,d realni brojevi, oni čine tijelo kvaterniona $(H,+,\cdot)$

$\mathbf{H} = \mathbf{R} K$ ima beskonačno elemenata i proširuje kompleksne brojeve koji su podskup, H ima i množenje i zbrajanje (nekomutativno tijelo kvaterniona)

K je grupa kvaterniona

pravila kao kod vektorskog množenja vektora $\vec{i}\times\vec{j}$ daje vektor $\vec{k}$, a $\vec{j}\times\vec{i}$ daje $-\vec{k}$ (s minusom!)

jedino što nema vektora “1”, dakle imamo vektore $a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}$, a nema $d\neq 0$

%%%%%%%%%%%%%%%%%

permutacije su preslikavanja iz skupa u samog sebe

{a,b,c} –> {a,b,c}

a b c poredamo na 6 načina 3 x 2 x 1 = 3! = 6 elemenata

a b c

a c b

b a c

b c a

c a b

c b a

grupa permutacija nije komutativna! abc->acb->cab abc->bac->bca

zamijenimo prva dva (132)o(213) nije (213)o(132)

%%%%%%%%%%%%%

Podgrupa = podskup S grupe G koji je zatvoren s obzirom na množenje (ako su a i b u S onda je i umnožak u G), i 1 je u S i inverz svakog elementa iz S je u S

(vidi lekciju grupa)

Tada je S automatski grupa s obzirom na restrikciju

K je podskup od H

grupa kvaterniona $(K,\cdot)$ je podgrupa $(H,\cdot)$ grupe množenja tijela kvaterniona $(H,+,\cdot)$, tj. H bez nule s obzirom na množenje

kompleksni brojevi s obzirom na množenje nisu grupa, ali ako oduzmemo nulu onda je C \ {0} je grupa

R \ {0} je grupa

Drugi način: podgrupa je podskup zatvoren s obzirom na naslijeđenu operaciju koji je ujedno grupa s obzirom na tu operaciju

Svi kompleksni brojevi apsolutne vrijednosti 1 čine grupu s obzirom na množenje.

Općenito je kompleksni broj oblika

$$z = r exp(i \phi) = r (cos \phi + i sin \phi)$$

To zovemo polarni ili Eulerov zapis kompleksnog broja gdje je $r = |z|$ modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja.

$$|a + b i| = \sqrt{ a^2 + b^2 }$$

$$cos \phi + i sin \phi = a + b i$$

Kut $\phi$ zovemo argument kompleksnog broja.

$t$ u skupu $[0,2 \pi)$

$t$ je argument kompleksnog broja tj. kut između osi x (pozitivna realna poluos) i radijusvektora kompleksnog broja

$$|z z'| = |z| |z'|$$

dakle ako je $|z| = 1$ i $|z'|=1$ tada je $|z z'| = 1$ pa je skup brojeva modula $1$ zatvoren s obzirom na množenje.

1 ima apsolutnu vrijednost 1

i $z^{-1}$ takodjer ima apsolutnu vrijednost $\frac{1}{|z|}$ dakle opet $1$

Pa je skup svih brojeva $S^1 = \{z \in \mathbf{C} \,|\, |z|=1\}$ podrgrupa od $(\mathbf{C},\cdot)$.

To je jedinična kružnica u kompleksnoj ravnini