Zoran Skoda niz

Neka je $S$ neki skup. Niz $a$ elemenata skupa $S$ je funkcija iz skupa prirodnih brojeva $\mathbb{N}$ u $S$. Vrijednost $a(n)$ za neki određeni $n$ označava se obično s $a_n$ i zove $n$-ti član niza. Sam izraz $a_n$ gdje je $n$ neodređen naziva se opći član niza $a$. Ponekad govorimo o formuli za niz (tj. funkciju niza) $a : n\mapsto a_n$ kao formuli za opći član niza, npr. $n \mapsto a_n = \left(1 +\frac{1}{n}\right)^n$.

U starijoj literaturi umjesto riječi niz ponekad se u istom značenju koristi slijed.

Ponekad gledamo i funkcije iz nekog početnog segmenta $\{1,\ldots,k\}\subset\mathbb{N}$ prirodnih brojeva u $S$ i zovemo ih konačni nizovi ili slogovi elemenata skupa $S$.

Aritmetički nizovi

Niz realnih brojeva je aritmetički niz ako je razlika $d = a_{n+1}- a_n$ stalna, odnosno ne zavisi od prirodnog broja $n$. Matematičkom indukcijom tada dokazujemo

$$a_n = a_1 + (n-1)\cdot d.$$

Ako je $a = (a_n)_{n\in\mathbf{N}}$ niz (recimo realnih ili kompleksnih) brojeva, tada definiramo niz parcijalnih suma $(s_m)_{m\in\mathbf{N}}$ niza $a$ rekurzijom

$$s_1 = a_1, \,\,\,s_{m+1} = s_m + a_{m+1}.$$

$m$-ti član tog niza nazivamo $m$-ta parcijalna suma niza $a$ i pišemo

$$s_m = \sum_{i=1}^m a_i$$

Ako je $a$ aritmetički niz, tada je

$$s_m = \frac{m\cdot(a_1 + a_m)}{2} = m a_1 + \frac{m(m-1)d}{2}$$

Na primjer ako je $a_n = n$, tada je $s_n = \frac{n(n+1)}{2}$.

Dokaz gornjih formula za parcijalne sume je matematičkom indukcijom. Zaista, za $n = 1$, $s_1 = a_1$. Ako vrijedi $s_m = m a_1 + \frac{m(m-1)d}{2}$, tada je

$$\array{ s_{m+1} &=& s_m + a_{m+1} \\ &=& m a_1 + \frac{m(m-1)d}{2} + (a_1 + (m+1-1) d) \\ &=& m a_1 + a_1 + \frac{m(m-1)d}{2} + 2 m \frac{d}{2} \\ &=& (m+1) a_1 + \left((m-1)m + 2 m\right)\cdot\frac{d}{2}\\ &=& (m+1) a_1 + \frac{(m-1+2)m d}{2}\\ &=& (m+1) a_1 + \frac{(m+1)((m+1)-1)d}{2}\\ &=& \tilde{m} a_1 +\frac{\tilde{m}(\tilde{m}-1)d}{2} }$$

što je traženi zbroj $s_{\tilde{m}}$ od $\tilde{m} = (m+1)$ članova niza.

Geometrijski nizovi

Geometrijski niz $(a_n)_{n\in\mathbf{N}}$ je niz brojeva u kojem je omjer ma koja dva susjedna niza stalan.

Primjer: omjer je 2, a počnemo brojem 1

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16184, 32368, 64736…

Primjer: omjer je 2, a počnemo brojem 3

3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768…

Općenito, neka je prvi član $a$, a stalan omjer $q$. Tada je $a_1 = a$, $a_2 = a\cdot q$, $a_3 = a q^2,\ldots$, a $n$-ti član $a\cdot q^{n-1}$. Dakle, svaku geometrijski niz je oblika

$$a, a q, a q^2, a q^3,\ldots, a q^{n-1},\ldots$$

Tvrdnja: Zbroj prvih $n$ članova geometrijskog niza je

$$a + a q + a q^2 + ... + a q^{n-1} = a (1 + q + q^2 + ... + q^{n-1})$$

Za to je dobro sjetiti se rastava razlike $n$-te potencije. Razlika kvadrata dva broja je

$$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$

što se lako provjeri tako da se, koristeći distributivnost, izraz na desnoj strani izmnoži (“svaki iz prve zagrade sa svakim iz druge zagrade”), srednji članovi $a b$ i $- b a$ se ponište i dobijemo $a^2 - b^2$.

Stavimo li $a = 1$ i $b = q$ dobit ćemo $1 - q^2 = (1-q)(1+q)$. Slično je razlika kubova,

$$\array{(a-b)(a^2+a b+ b^2) &=& a^3 - b a^2 + a^2 b -b a b + a b^2 - b^3 \\ &=& a^3 - b^3 }$$

Dakle, u našem posebnom slučaju,

$$1 - q^3 = (1-q)(1 + q + q^2)$$

Općenito za svaki $n\in\mathbf{N}$ vrijedi

$$1 - q^n = (1-q)(1 + q + q^2 +...+ q^{n-1})$$

Dokaz: matematičkom indukcijom.

Baza indukcije: Za $n = 1$, pitamo se da li je $1-q ? = (1-q)\cdot (1)$ i to vrijedi.

Korak indukcije: ako vrijedi pretpostavka indukcije, tj. tvrdnja za $n$,

$$1 - q^n = (1-q)(1 + q + q^2 +...+ q^{n-1})$$

da li vrijedi tvrdnja za $n+1$ ?

$$1 - q^{n+1} ?= (1 - q)(1 + q + ... + q^{n-1} + q^n)$$

Izračunajmo desnu stranu, tako da rastavimo desnu zagradu na dva dijela, prvi dio je prvih $n$ članova, i onda još zadnji član i koristimo distributivnost množenja prema zbrajanju slijeva. Dobivamo,

$$(1 - q)(1 + q + ... + q^{n-1}) + (1-q)q^n$$

po pretpostavki indukcije to je jednako

$$1 - q^n + q^n - q^{n+1} = 1 - q^{n+1}$$

kao što smo trebali dokazati.

To znači da je

$$1 + q + ... + q^{n-1} = (1-q^n)/(1-q) = (q^n-1)/(q-1)$$

Za geometrijski niz, zbroj prvih n članova je

$$s_n = a (1-q^n)/(1-q) = a(q^n-1)/(q-1)$$

Cauchyjev niz brojeva

Definiciju Cauchyjevog niza vidi na stranici realni broj.

category: zadarmat1, zadarmat3, zadarmat4