Neformalno, prirodni brojevi su , neke tradicije smatraju i prirodnim brojem.
Tri pristupa prirodnim brojevima:
prirodni brojevi kao konačni kardinalni brojevi (vidi na stranici kardinalni broj); neformalno, broju odgovara klasa ekvipotentnosti svih skupova koji imaju elemenata. Dakle broj nastaje apstrakcijom od neformalnih skupova od 5 stabala, 5 ljudi, 5 jabuka itd. Ta apstrakcija je bitna i kod učenja brojeva kod djece. Dva su skupa ekvipotentna ako postoji bijekcija s prvog na drugi. Zbrajanje, množenje i potenciranje prirodnih brojeva su u formalizmu kardinalnih brojeva poseban slučaj zbrajanja, množenja i potenciranja kardinalnih brojeva. Zbrajanje kardinalnih brojeva svodi se na kardinalni broj disjunktne unije, množenje na kardinalni broj Kartezijevog umnoška skupova, a potenciranje na kardinalni broj skupa svih funkcija iz u .
prirodni brojevi kao konačni redni brojevi (ordinali); broj odgovara linearno uređenom skupu (“lancu”) s elemenata, npr. .
aksiomatska izgradnja prirodnih brojeva, npr. Dedekind-Peanova aksiomatika
O prirodnim brojevima govori i zapis lekcije mat1-201120 te stranica matematička indukcija.
Uvedimo konstantu i primitivne pojmove “biti prirodan broj” i funkcijsku varijablu koji od pravi novi simbol .
Aksiomi:
Peanove aksiome možemo alternativno napisati i u terminima skupa svih prirodnih brojeva (tada dakle moramo pretpostaviti teoriju skupova). Naime u tim terminima Peano-Dedekindovi aksiomi kažu da ima slijedeća svojstva:
dana je funkcija sljedbenika koja je injekcija, tj. za svaka dva broja ako tada i (možemo razmišljati da je ali zbrajanje ovdje još nije definirano).
nije sljedbenik ni jednog broja iz
Princip matematičke indukcije: neka je neko svojstvo prirodnih brojeva, tj. za svaki ili vrijedi ili nije . Ako vrijedi (“baza indukcije”) i ako za svaki iz slijedi tada vrijedi za sve .
Pomoću operacije sljedbenika , tj. brojenja, rekurzijom definiramo zbrajanje prirodnih brojeva: i (neformalno, ), npr. i .
Pomoću zbrajanja rekurzijom definiramo množenje prirodnih brojeva. Naime, i . Npr. .
Pomoću množenja rekurzijom definiramo potenciranje prirodnog broja prirodnim brojem ili nulom. Naime, za svaki prirodni broj , prvo definiramo potencije i , i za svaki broj vrijedi i rekurzivna relacija . Dakle, , itd.
Redni broj općinto je po definiciji linearno uređeni skup koji je ujedno dobro uređen. Nas zanimaju samo konačni redni brojevi. Ovo potonje spomenuto svojstvo dobre uređenosti je automatsko kod konačnih linearno uređenih skupova pa nećemo o njemu razmišljati. Dakle redni broj je konačan linearno uređen skup; znači na njemu imamo uređaj s obzirom koji je linaran (totalan) u smislu da su svaka dva različita elementa usporediva, dakle iz slijedi da je ili ili .
Redni broj možemo gledati kao uređen skup sa samo jednim elementom (koji nije manji od samog sebe) kojeg možemo zvati . Redni broj možemo gledati kao lanac , broj kao , dakle ako je jednak lancu tada je njegov sljedbenik jednak . Općenitije, zbrajamo tako da lanac koji odgovara -i zalijepimo znakom slijeva na lanac koji odgovara -u. Npr. je redni broj (tj. unutar svakog od dva dijela poredak ostaje isti, a svi elementi u prvom lancu su ispred svih elemenata u drugom lancu). Primijetite da smo preimenovali elemente u drugom lancu da ne bi bilo ponavljanja. Ako preimenujemo još jednom sve elemente dobili smo redni broj . Kako smo ovdje pisali okruglu zagradu, a ona znači uređeni slog tada zapravo možemo pisati , no ovdje radije naglašavamo redoslijed znakom ‘manji od’.
Množenje rednih brojeva je objašnjeno na wikipediji https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_arithmetic, mi ga nećemo rabiti. Ukratko, lance kao skupove pomnožimo Kartezijevim produktom i uredimo leksikografski.
Ovaj dio je obično isti bez obzira kako smo uveli prirodne brojeve i njihovo zbrajanje i množenje.
Razlika prirodnih brojeva i je prirodni broj takav da , ako takav broj postoji. Ukoliko takav broj postoji, kažemo da je veći od i pišemo . To definira relaciju strogog uređaja na skupu prirodnih brojeva.
Ako skupu prirodnih brojeva dodamo element nulu onda dobijemo uređeni skup u kojem je manja od svih prirodnih brojeva, a uređaj na podskupu prirodnih brojeva ostaje isti); proširimo zbrajanje formulama za sve i množenje formulom .
Kod kardinalnih i rednih brojeva postoje i alternativne definicije tog uređaja koje nama nisu važne (kardinalni broj skupa je manji od kardinalnog broja skupa ako postoji injekcija iz u ; redni broj je manji od rednog broja ako u kao lancu postoji pravi početni segment koji je nakon mogućeg preimenovanja članova jednak rednom broju ).
Prirodne brojeve ne možemo uvijek dijeliti, ali uvijek možemo dijeliti s ostatkom. Broj je djeljiv brojem (sinonim: broj dijeli broj i pišemo ; sinonim: je djelitelj ili divizor broja ) ako postoji broj takav da je . Tada pišemo i u toj jednakosti zovemo djeljenikom, djeliteljem, a broj količnikom (ili kvocijentom) brojeva i . Dijeljenje je dakle ekvivalentno rješavanju jednadžbe za kad su i dani.
Prirodni broj različit od je prost ako je djeljiv samo s dva prirodna broja, a to su i taj broj sam. Dijeljenje je dakle samo parcijalno definirana binarna operacija na skupu prirodnih brojeva. Dijeljenje parcijalno proširujemo na formulom . Ne definiramo ni za jedan broj iz .
Ako je dano nekoliko (2 ili više, ali konačno mnogo) prirodnih brojeva tada je njihova zajednička mjera (zajednički djelitelj/divizor) prirodni broj koji dijeli svaki od tih brojeva. Od svih zajedničkih mjera postoji najveća zajednička mjera (engl. greatest common divisor, kratica GCD) . Ako je najveća zajednička mjera brojeva broj tada kažemo da su brojevi relativno prosti (nemaju netrivijalnu zajedničku mjeru). Slično broj je zajednički višekratnik brojeva ako je višekratnik svakog od njih. Od svih zajedničkih višekratnika postoji najmanji zajednički višekratnik .
Dijeljenje s ostatkom: Ako su i dva prirodna broja onda je rezultat dijeljenja brojem broj s ostatkom ako slijedeća dva svojstva vrijede u .
1)
2) .
( stoji za engl. quotient i za engl. residue)
Ako vrijedi samo prvo svojstvo, a drugo svojstvo je oslabljeno i nije manji od ali je manji od , tada govorimo o djelomičnom dijeljenju (engl. partial division).
Teorem o dijeljenju prirodnih brojeva s ostatkom kaže da za svaka dva prirodna broja i postoje jedinstveni brojevi i s gore navedena 2 svojstva.
Last revised on December 16, 2022 at 11:41:34. See the history of this page for a list of all contributions to it.