Zoran Skoda prsten

Prsten je algebarska struktura $(R,\cdot,+,1,0)$ s dvije binarne algebarske operacije koje ćemo u definiciji označavati $\cdot$ i $+$ i dva istaknuta elementa $1$ i $0$ (nularne operacije), pri čemu te operacije zadovoljavaju slijedeća svojstva:

• $(R,+)$ je komutativna grupa s neutralnim elementom $0$ (inverz elementa $a$ ćemo označavati $-a$ kao što je uobičajeno kod komutativnih grupa)

• $(R,\cdot)$ je monoid s neutralnim elementom $1$ (dakle vrijedi asocijativnost množenja i $1\cdot a = a = a\cdot 1$). Taj monoid NE mora biti komutativan (ako je, tada ćemo reći i da je dobiveni prsten komutativan).

• vrijedi lijeva i desna distributivnost množenja prema zbrajanju, tj. za sve $a,b,c\in R$ vrijedi

$$a\cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c$$

$$(b+c) \cdot a = b\cdot a + c\cdot a$$

Prisjetimo se da je u svakoj komutativnoj grupi $0 + 0 = 0$ pa $0 = -0$.

Propozicija $0$. Za svaki element $x$ u prstenu vrijedi $0\cdot x = 0$ te $x\cdot 0 = 0$.

Dokaz. $0\cdot x = (0+0)\cdot x = 0\cdot x + 0\cdot x$. Na obje strane dodajmo $-(0\cdot x)$ s rezultatom

$0\cdot x - (0\cdot x) = (0\cdot x + 0\cdot x) - (0\cdot x)$

dakle (koristeći asocijativnost zbrajanja na desnoj strani jednakosti)

$0 = 0\cdot x$ kako se i tražilo.

Propozicija 1. U svakom prstenu $R$, $(-1)\cdot x + x = 0$ za sve $x\in R$. Drugim riječima, suprotni element s obzirom na zbrajanje $-x$ je jednak $(-1)\cdot x$.

Dokaz. Zamijenimo $x = 1\cdot x$, pa po lijevoj distributivnosti $(-1)\cdot x + 1\cdot x = ((-1)+1)\cdot x = 0\cdot x = 0$.

Propozicija 1’. U svakom prstenu $R$, $x\cdot (-1) = - x$. Drugim riječima, suprotni element s obzirom na zbrajanje $-x$ je jednak i $x\cdot(-1)$.

Propozicija 2. U svakom prstenu, $a\cdot b + (-a)\cdot b = 0$.

Dokaz. Po asocijativnosti $((-1)a)\cdot b = (-1)\cdot (a\cdot b)$ pa rezultat slijedi iz prethodne propozicije 1 za $x = a\cdot b$.

Neka su $(R,\cdot,+,1,0)$ i $(\tilde{R},\tilde\cdot,\tilde{+},\tilde{1},\tilde{0})$ dva prstena. Preslikavanje $f:R\to S$ je homomorfizam prstena ako je

$$f(a + b) = f(a) \tilde{+} f(b),\,\,\,\,\,\forall a,b\in R$$

$$f(a\cdot b) = f(a)\tilde\cdot f(b)$$

i $f(1) = \tilde{1}$ (tada je automatski i $f(0) = \tilde{0}$).

Primjer. Skup svih polinoma čiji koeficijenti su realni brojevi je prsten s obzirom na zbrajanje i množenje polinoma.

Primjer. Neka je $n$ fiksiran prirodan broj. Kvadratne matrice realnih brojeva s $n$ redaka i $n$ stupaca možemo međusobno zbrajati i množiti i kao rezultat ponovno dobijemo matricu tog tipa. Nulmatrica i jedinična matrica su neutralni elementi za zbrajanje i množenje takvih matrica. Provjerom za ostala svojstva (npr. distributivnost) zaključujemo da takve matrice čine prsten s obzirom na zbrajanje i množenje matrica. Taj prsten nije komutativan ukoliko je $n\geq 2$ jer postoje primjeri takvih matrica $A$ i $B$ gdje ne vrijedi $A B = B A$.

Vidi i zapis predavanja mat4-250321.pdf.

Poseban slučaj prstena su tijela (diobeni prstenovi) koje možemo opisati kao prstene u kojima možemo dijeliti s nenul elementima slijeva i zdesna.

category: zadarmat4