Zoran Skoda
prsten

Prsten je algebarska struktura (R,,+,1,0)(R,\cdot,+,1,0) s dvije binarne algebarske operacije koje ćemo u definiciji označavati \cdot i ++ i dva istaknuta elementa 11 i 00 (nularne operacije), pri čemu te operacije zadovoljavaju slijedeća svojstva:

  • (R,+)(R,+) je komutativna grupa s neutralnim elementom 00 (inverz elementa aa ćemo označavati a-a kao što je uobičajeno kod komutativnih grupa)

  • (R,)(R,\cdot) je monoid s neutralnim elementom 11 (dakle vrijedi asocijativnost množenja i 1a=a=a11\cdot a = a = a\cdot 1)

  • vrijedi lijeva i desna distributivnost množenja prema zbrajanju, tj. za sve a,b,cRa,b,c\in R vrijedi

a(b+c)=ab+aca\cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c
(b+c)a=ba+ca (b+c) \cdot a = b\cdot a + c\cdot a

Prisjetimo se da je u svakoj komutativnoj grupi 0+0=00 + 0 = 0 pa 0=00 = -0.

Propozicija 00. Za svaki element xx u prstenu vrijedi 0x=00\cdot x = 0 te x0=0x\cdot 0 = 0.

Dokaz. 0x=(0+0)x=0x+0x0\cdot x = (0+0)\cdot x = 0\cdot x + 0\cdot x. Na obje strane dodajmo (0x)-(0\cdot x) s rezultatom

0x(0x)=(0x+0x)(0x) 0\cdot x - (0\cdot x) = (0\cdot x + 0\cdot x) - (0\cdot x)

dakle (koristeći asocijativnost zbrajanja na desnoj strani jednakosti)

0=0x 0 = 0\cdot x kako se i tražilo.

Propozicija 1. U svakom prstenu RR, (1)x+x=0(-1)\cdot x + x = 0 za sve xRx\in R. Drugim riječima, suprotni element s obzirom na zbrajanje x-x je jednak (1)x(-1)\cdot x.

Dokaz. Zamijenimo x=1xx = 1\cdot x, pa po lijevoj distributivnosti (1)x+1x=((1)+1)x=0x=0(-1)\cdot x + 1\cdot x = ((-1)+1)\cdot x = 0\cdot x = 0.

Propozicija 1’. U svakom prstenu RR, x(1)=xx\cdot (-1) = - x. Drugim riječima, suprotni element s obzirom na zbrajanje x-x je jednak i x(1)x\cdot(-1).

Propozicija 2. U svakom prstenu, ab+(a)b=0a\cdot b + (-a)\cdot b = 0.

Dokaz. Po asocijativnosti ((1)a)b=(1)(ab)((-1)a)\cdot b = (-1)\cdot (a\cdot b) pa rezultat slijedi iz prethodne propozicije 1 za x=abx = a\cdot b.

Neka su (R,,+,1,0)(R,\cdot,+,1,0) i (R˜,˜,+˜,1˜,0˜)(\tilde{R},\tilde\cdot,\tilde{+},\tilde{1},\tilde{0}) dva prstena. Preslikavanje f:RSf:R\to S je homomorfizam prstena ako je

f(a+b)=f(a)+˜f(b),a,bR f(a + b) = f(a) \tilde{+} f(b),\,\,\,\,\,\forall a,b\in R
f(ab)=f(a)˜f(b) f(a\cdot b) = f(a)\tilde\cdot f(b)

i f(1)=1˜f(1) = \tilde{1} (tada je automatski i f(0)=0˜f(0) = \tilde{0}).

category: zadarmat4

Last revised on May 18, 2016 at 12:24:15. See the history of this page for a list of all contributions to it.