Prsten je algebarska struktura s dvije binarne algebarske operacije koje ćemo u definiciji označavati i i dva istaknuta elementa i (nularne operacije), pri čemu te operacije zadovoljavaju slijedeća svojstva:
je komutativna grupa s neutralnim elementom (inverz elementa ćemo označavati kao što je uobičajeno kod komutativnih grupa)
je monoid s neutralnim elementom (dakle vrijedi asocijativnost množenja i ). Taj monoid NE mora biti komutativan (ako je, tada ćemo reći i da je dobiveni prsten komutativan).
vrijedi lijeva i desna distributivnost množenja prema zbrajanju, tj. za sve vrijedi
Prisjetimo se da je u svakoj komutativnoj grupi pa .
Propozicija . Za svaki element u prstenu vrijedi te .
Dokaz. . Na obje strane dodajmo s rezultatom
dakle (koristeći asocijativnost zbrajanja na desnoj strani jednakosti)
kako se i tražilo.
Propozicija 1. U svakom prstenu , za sve . Drugim riječima, suprotni element s obzirom na zbrajanje je jednak .
Dokaz. Zamijenimo , pa po lijevoj distributivnosti .
Propozicija 1’. U svakom prstenu , . Drugim riječima, suprotni element s obzirom na zbrajanje je jednak i .
Propozicija 2. U svakom prstenu, .
Dokaz. Po asocijativnosti pa rezultat slijedi iz prethodne propozicije 1 za .
Neka su i dva prstena. Preslikavanje je homomorfizam prstena ako je
i (tada je automatski i ).
Primjer. Skup svih polinoma čiji koeficijenti su realni brojevi je prsten s obzirom na zbrajanje i množenje polinoma.
Primjer. Neka je fiksiran prirodan broj. Kvadratne matrice realnih brojeva s redaka i stupaca možemo međusobno zbrajati i množiti i kao rezultat ponovno dobijemo matricu tog tipa. Nulmatrica i jedinična matrica su neutralni elementi za zbrajanje i množenje takvih matrica. Provjerom za ostala svojstva (npr. distributivnost) zaključujemo da takve matrice čine prsten s obzirom na zbrajanje i množenje matrica. Taj prsten nije komutativan ukoliko je jer postoje primjeri takvih matrica i gdje ne vrijedi .
Vidi i zapis predavanja mat4-250321.pdf.
Poseban slučaj prstena su tijela (diobeni prstenovi) koje možemo opisati kao prstene u kojima možemo dijeliti s nenul elementima slijeva i zdesna.
Last revised on March 2, 2023 at 14:13:17. See the history of this page for a list of all contributions to it.