Zoran Skoda hom17 Neabelova kohomologija

Silazak i neabelova kohomologija

napredni poslijediplomski kolegij, 60 sati, 2017/2018

Predznanje

algebra na nivou diplomskog studija, osnove opće topologije, slobodno korištenje pojmova funktora, ekvivalencije kategorija i prirodnih transformacija, bazična familijarnost barem s nekim od standardnih prostora u matematici (npr. mnogostrukosti, višestrukosti, vektorski svežnjevi) i s lančanim kompleksima. Većina definicija (uključujući osnove kategorija) bit će brzo ponovljene. Odabir gradiva i naglasak se može podesiti prema sastavu slušača.

Motivacija i opis

Teorija silaska proučava odnos lokalnog i globalnog. Npr. vektorski svežnjevi mogu se izgraditi ljepljenjem trivijalnih vektorskih svežnjeva koji su definiranih nad okolinama iz nekog pokrivača prostora, koristeći funkcije prijelaza na presjecima tih okolina, koje zadovoljavaju kociklusni uvjet na trostrukim presjecima. U apstraktnijem okružju promatramo funktore povlaka iz kategorije svežnjeva nad prostorom u svežnjeve nad otvorenim pokrivačem i rekonstruiramo svežnjeve iz njih. Funkcije se lijepe na pokrivaču ako se na presjecima podudaraju, no objekti (recimo svežnjevi) nemaju funkcijske vrijednosti u točkama pa se podudaranje relaksira na izomorfizam; sam odabir izomorfizma je bitan podatak. Razni načini slaganja izomorfizama su usaglašeni, što vodi na uvjete u terminima izomorfizama među izomorfizmima itd. Ti uvjeti su koherencije u teoriji viših kategorija i kociklusni uvjeti u kohomologijama. Prema njihovom modernom poimanju, kohomološke klase zapravo klasificiraju podatke silaska.

Sami pokrivači ne moraju biti u smislu obične topologije (kao familije porodice otvorenih skupova) nego mogu biti aksiomatski definirani (Grothendieckove topologije i poopćenja) što znatno proširuje područje primjena (npr. etalna topologija u algebarskoj geometriji).

Sustavi objekata koji dopuštaju ljepljenje zovu se stogovi; snopovi (ili $0$-stogovi) su njihov skupovni analogon kad lijepimo prereze kao elemente skupova, radije nego objekte u kategoriji. Snopove možemo lijepiti u okviru ambijentnih 1-stogova; snopovi se dakle organiziraju u 1-stog. Globalno organiziranje kociklusa u više stogove ($n$-stogove pa čak i $\infty$-stogove) je jedan od nadolazećih organizacijskih principa u matematici. Uz klasične slučajeve kao Galoisova kohomologija u teoriji brojeva i orbistrukosti u geometriji i matematičkoj fizici, stogovi su koeficijenti za kohomologije koje su dovoljne da opišu slabi homotopski tip prostora. Stogovi opisuju nove klase prostora derivirane geometrije s pravilnijim geometrijskim i jednostavnijim kohomološkim ponašanjem od njihove grube skupovne vatijante. Npr. prostori parametara geometrijskih objekata zamjenjujemo stogovima modula za iste klasifikacijske probleme.

Sadržaj

Ova lista ključnih tema će se obradjivati u nelinearnom redoslijedu prilagođenom slušačima i potrebama sadržaja.

• Jezik kategorija. Yonedina lema, reprezentabilnost i limes, sprega funktora (adjungiranost) i egzaktnost. Unutarnje kategorije i unutarnji grupoidi.

• Snopovi i svežnjevi nad topološkim prostorima. Funktori direktne i inverzne slike za snopove i module. Motivacijski primjeri za problem silaska (za module i svežnjeve).

• Vlaknaste kategorije. Grothendieckova konstrukcija. Snopovi i 1-stogovi nad Grothendieckovim topologijama. Primjeri.

• Stogovski kvocijenti. Silazak uzduž torsora. Stogovi preko grupoida. Bitorsori. Gerb torsora. Orbistrukosti. Moritina/Hilsum-Skandalisova preslikavanja grupoida. Schreierova teorija. Azumayine algebre (Azumaya algebras). Brauerova grupa. Azumayin kompleks. Bikategorije, 2-silazak i druga nonabelova kohomologija.

• (Ko)monadični silazak. Barr-Beckov teorem. Benabou-Raubaudov teorem. Silazak za module. Schneiderov silazak za Hopfove module. Koprstenovi. Amitsurov kompleks. Ljepljenje Abelovih kategorija, lokalizacijski funktori i nekomutativne sheme. Ljepljenje funktora.

• Orijentali i viši silazak. Abelova kohomologija iz neabelove. Deligneova kohomologija. Viši stogovi iz teorije homotopije. Ideja derivirane geometrije.

Mogu se dodati (ili u seminarima obraditi) neke izborne teme: snopovi i stogovi nad Q-kategorijama. Formalno glatki/etalni morfizmi. Kohezivni toposi. Neabelova diferencijalna kohomologija.

Literatura

Online materijali će dopunjavati osnovne reference 1-4. Koristit ću i dijelove od MacLane-Moerdijk, Sheaves in geometry and logic; Škoda, Noncommutative localization in noncommutative geometry (arXiv), Brzeziński-Wisbauer, Corings and comodules, SGA I.6 i $n$Lab. Povremeno ću konzultirati i neke povijesne reference (od Breena, Duskina, Hollander itd.) te U. Schreiberovu habilitaciju pdf, a eventualno čak i poneki paragraf iz masivnog ali dobro organiziranog i čitljivog stack projecta.

1. A. Vistoli, Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory, in Fundamental algebraic geometry, 1–104, Math. Surveys Monogr. 123, AMS 2005, arXiv:math.AG/0412512

2. I. Moerdijk, Introduction to the language of stacks and gerbes, arXiv:math/0212266

3. K. S. Brown, Abstract homotopy theory and generalized sheaf theory, Trans. Amer. Math. Soc. 186 (1973) 419-458 pdf

4. R. Street, Categorical and combinatorial aspects of descent theory, App. Categ. Str. 12: 537–576, 2004 pdf math.CT/0303175 doi; R. Street, Algebra of oriented simplices, Journal of Pure and Applied Algebra 49 (1987)

5. B. Fantechi, Stacks for everybody, Progr. Math. 201, European Congress of Mathematics, pp 349-359 springerlink citseerpdf

6. Thomas Streicher, Fibred Categories à la Jean Bénabou, ms. TU Darmstadt 2005 pdf

U jednom dijelu druge polovice kolegija (“Viši stogovi iz teorije homotopije”) radimo kratki uvod u apstratnu teoriju homotopije i pristup kociklusima i neabelovim deriviranim funktorima preko lokalizatora, Quillenovih modelnih kategorija i Brownove kategorije s fibrantnim objektima. Definicija Quillenovih modelnih kategorija je na stranici homotopija lekcija4. Brownov pristup je izložen u gore navedenom članku (3.) Kennetha Browna, formalizam lokalizatora u lekcijama 1. i 2. od

• Georges Maltsiniotis, Model categories and derivators, lectures at Advanced school on homotopy theory and algebraic geometry, Sevilla, Sep 2009, 1. Localizers, 2. Model categories, 3. Derivators; Summary on derivators,

a za Quillenove kategorije modela osim Maltsionitisa koristimo glave 7 i 8 (i malo iz glave 1) knjige

• P. Hirschhorn, Model categories and their localization

a dobro je konzultirati i dobro pisani članak iz priručnika o algebarskoj topologiji,

• W. G. Dwyer, J. Spalinski, Homotopy theories and model categories, , in Handbook of Algebraic Topology, Elsevier, 1995. MR 1361887 (96h:55014) pdf

Modelne kategorije se u posljednje vrijeme promatraju i kao prezentacije $(\infty,1)$-kategorija, za koje postoji dosta pristupa. Mi za te složene formalizme nemamo vremena van nekih usputnih, uglavnom motivacijskih, primjedbi na predavanjima. Komparativni pregled raznih pristupa apstraktnoj homotopiji s blagim pogledom prema $(\infty,1)$-kategorijama, na višem nivou od gornjih referenci, su prve tri glave (str 3-40) u podosta neformalnim Kopenhagenškim Dwyerovim predavanjima,

• Bill Dwyer, Homotopy theory and classifying spaces, 2008, pdf

Kvazikategorni pristup $(\infty,1)$-kategorijama je vrlo jezgrovito i jasno opisan na početku Joyalovih lekcija iz Barcelone,

• A. Joyal, The theory of quasicategories and its applications, pdf

Uticajana usporedba homotopskih limesa s kategorijama podataka silazaka, s osvrtom na stogove je izložena u radu

• Susan Hollander, A homotopy theory for stacks, Israel Journal of Mathematics 163(1):93-124 doi pdf

Za pojam simplicijalnog skupa, živac (nerv) kategorije i geometrijsku realizaciju koristimo stranicu 9 iz kolegija o apstraktnoj teoriji homotopije (2009/2010) homotopija lekcija9. Makar mi u pravilu ne koristimo u dokazima i logičnoj izgradnji teorije, radi razumijevanja sadržaja i motivacije u apstraktnoj homotopiji, podrazumijeva se da je čitatelj pomalo familijaran s nekim klasičnim primjerima, odnosno s nešto malo standardne algebarske topologije i (abelove) homološke algebre u terminima (ko)lančanih kompleksa. Za one koji žele produbiti to znanje, na stranici kolegija iz 2009 izlistane su neke standardne reference (najvažnije May “Concise”, Gelfand-Manin “Methods”). Vidi također stranice problemi algebarske topologije, homCW, hom12 abelove kategorije. Klasična referenca iz Abelove homološke algebre je

• A. Grothendieck, Sur quelques points d’algèbre homologique, Tôhoku Math. J. vol 9, n.2, 3, 1957; Francuski original: dio 1,

  dio 2; Engl. prijevod pdf; $n$Lab: Tohoku

a moderni pristup je u terminima trianguliranih kategorija za koje su standardni udžbenici

• S. Gel’fand, Yu. Manin, Methods of homological algebra, 1988 (rus), 1996 (engl)

i suhoparnija monografija o homološkoj algebri od Charlesa Weibela (vidi i nLab, triangulated category). U glavi 5, Geljfand i Manjin pišu i o modelnim kategorijama, a glava 1 je posvećena simplicijalnim skupovima; osim homološke algebre, knjiga ima ponešto i o Grothendieckovim predtopologijama i snopovima (u glavi II, posvećenoj kategorijama, funktorima i važnim primjerima, naročito iz geometrije i topologije).

Neke ideje o vezi viših kategorija i (ne)abelove kohomologije prozračno su izložene u

• John Baez, Michael Shulman, Lectures on $n$-categories and cohomology, math./0608420

Primijetite da članak ima bibliografiju s bilješkama.