Zoran Skoda
homotopija lekcija3

Ova lekcija nije još napisana, a održana je u srijedu, 25. studenog. Jedan mali dio te lekcije je održan doduše na početku lekcije 4, no bit će napisan na webu u okviru OVE lekcije. Tu spada i proširivanje početne diskusije iz ovog kolegija o četiri osnovna problema algebarske topologije, vidi link.

Glavni novi pojmovi su fundamentalni grupoid, H-prostor, H-grupa, H-kogrupa, pojmovi vezani uz baznu homotopiju (homotopija prostora istaknutom točkom), prostor petlji, homotopske grupe, egzaktni nizovi; no neki od tih pojmova su odgođeni za kasnije kad ćemo raditi CW-komplekse. Prije su spomenuti deformacijski retrakti i slični pojmovi (NDR par, DR par itd.). Ovdje ćemo i ponoviti definicije u malo više detalja ako stignemo.

Primjeri fibracija

Prije prelaska na novi materijal dajmo glavni izvor primjera fibracija.

Propozicija. Neka su XX i BB proizvoljni topološki prostori. Tada je projekcija pr B:X×BBpr_B : X\times B\to B fibracija (u smislu Hurewitza, tj. zadovoljava svojstvo podizanja homotopije u odnosu na sve topološke prostore).

Teorem (Hurewitz). Neka je BB topološki prostor i B= λB λB = \cup_\lambda B_\lambda gdje su B λB_\lambda otvoreni potprostori od BB koji čine lokalno konačan pokrivač od BB. Neka je p:EBp:E\to B preslikavanje takvo da je restrikcija p|p 1(B α):p 1(B α)B αp|p^{-1}(B_\alpha):p^{-1}(B_\alpha)\to B_\alpha fibracija za svaki α\alpha. Tada je pp fibracija.

Korolar. Neka je BB topološki prostor i p:EBp:E\to B lokalno trivijalan fibrirani (hrv. raslojeni, vlaknati) svežanj s vlaknom FF. Ako je BB parakompaktan Hausdorffov prostor tada je pp fibracija.

Teorem. (J-P. Serre) Za bilo koji topološki prostor BB, evaluacija u nuli (ili jedinici) ev 0:B IBev_0:B^I\to B, ss(0)s\mapsto s(0) je fibracija.

Propozicija. Ako su f:XYf:X\to Y i p:YBp:Y\to B fibracije, tada je pf:XBp\circ f:X\to B fibracija.

Propozicija. Ako je p:EBp:E\to B fibracija i XX topološki prostor, tada je inducirano preslikavanje p X:E XB Xp^X:E^X\to B^X fibracija.

Neke operacije s istaknutom točkom

Neka je {(X λ,x λ)} αΛ\{(X_\lambda,x_\lambda)\}_{\alpha\in\Lambda} porodica prostora s istaknutom točkom. Identificirajmo međusobno sve istaknute točke u disjunktnoj uniji λΛX λ\coprod_{\lambda\in\Lambda} X_\lambda; dobiveni skup λX λ\Vee_\lambda X_\lambda promatramo u kvocijentnoj topologiji; neka bude istaknuta točka u dobivenom jedinstvena slika svih (identificiranih) istaknutih točaka. Dobiveni prostor s istaknutom točkom naziva se buketna suma (ili naprosto buket) porodice X λX_\lambda prostora s istaknutom točkom. Očito je buketna porodice povezanih prostora povezan, a buket linearno povezanih prostora linearno povezan.

Zadatak. Buketna suma je koprodukt u kategoriji topoloških prostora s istaknutom točkom.

S druge strane produkt u kategoriji prostora s istaknutom točkom reprezentiran je prostorom (X×Y,(x 0,y 0))(X\times Y,(x_0,y_0)) gdje je X×YX\times Y obi;an Tihonovljev produkt.

Zadatak. Pokažite da formula

(X,x 0)×(Y,y 0):=(X×Y,(x 0,y 0))(X,x_0)\times (Y,y_0) := (X\times Y,(x_0,y_0))

zadovoljava univerzalno svojstvo produkta u kategoriji Top *Top_*.

No u teoriji homotopija korisniji je takoyvani smash (zgnječeni) produkt kojeg ćemo radi jednostavnosti formulom opisati za dva faktora (no uvjerite se da se lako poopćuje na proizvoljne porodice):

(X,x 0)(Y,y 0):=(X×Y/(X×y 0x 0×X),)(X,x_0)\wedge (Y,y_0) := (X\times Y/(X\times y_0\cup x_0\times X), \star)

gdje je nova istaknuta točka \star slika potprostora X×y 0x 0×YX\times y_0\cup x_0 \times Y koji se stegnuo u točku. Lako se vidi opće pravilo: poistovjetimo u običnom Tihonovljevom produktu λX λ\prod_\lambda X_\lambda sve točke čija bar jedna koordinata je istaknuta; slika svih točka je dakle jedna točka koja je sad istaknuta.

Zadatak. Ova konstrukcija se lako modificira na konstrukciju produkta u kategoriji parova Top i 2Top^2_i. Formulirajte i dokažite to poopćenje (za proizvoljne porodice parova (X λ,A λ)(X_\lambda,A_\lambda)); za dva para imamo

(X,A)×(Y,B)=(X×Y,X×BA×Y). (X,A)\times(Y,B)=(X\times Y, X\times B\cup A\times Y).

Vidimo da je u Top i 2Top^2_i produkt (X,x 0)×(Y,y 0)=(X×Y,XY)(X,x_0)\times (Y,y_0)= (X\times Y,X\vee Y). Dakle ako stegnemo drugi dio u to;ku dobijamo XYX\wedge Y.

Ove konstrukcije nam lako sugeriraju kako definirati analogone konstrukcija iz lekcije 2: konus i cilindar prostora, konus, cilindar i kocilindar preslikavanja za prostore s istaknutom točkom. Pri tome se sam interval II se zamijeni s (I,0)(I,0) ili se (zavisno od konstrukcije) radi s I +=(I{*},{*})I_+ = (I \cup \{*\},\{*\}).

Npr. konus baznog prostora Cone(X,x 0)Cone(X,x_0) ima za totalni prostor kvocijent X×I/(X×0x 0×IX×1)X\times I/(X\times 0\cup x_0\times I\cup X\times 1). Pri tome je opet bazna točka slika identificiranih točaka. Cilindar preslikavanja Cyl(f)Cyl(f) gdje je f:(X,x 0)(Y,y 0)f:(X,x_0)\to (Y,y_0) preslikavanje prostora s baznom točkom je

Cyl(f)=(X×IY)/(X×0x 0×Iy 0,(x,1)f(x)).Cyl(f) = (X\times I \coprod Y)/(X\times 0\sim x_0\times I\sim y_0, (x,1)\sim f(x)).

S homotopijom treba, međutim, biti oprezan: ona je još uvijek definirana na običnom X×IX\times I radije nego na (X,x 0)×(I,0)(X,x_0)\times (I,0). Bazirana homotopija (engl. pointed homotopy) (X,x 0)(Y,y 0)(X,x_0)\to (Y,y_0) je homotopija F:X×IYF:X\times I\to Y takva da F(x 0,t)=y 0F(x_0,t)=y_0 za sve tt. Slično, neka su f,g:XYf,g:X\to Y dva preslikavanja, i AXA\subset X, tada kažemo da su oni homotopni relativno AA, ako postoji homotopija F:X×IYF:X\times I\to Y homotopija koja fiksira AA, takva da je F 0=fF_0=f, F 1=gF_1 = g i F(a,t)=F(a,0)F(a,t) = F(a,0) za sve tt.

Prijašnje lekcije su 1, 2, a nakon ove dolaze lekcije 4 i 5.

Last revised on December 8, 2009 at 17:55:13. See the history of this page for a list of all contributions to it.