Zoran Skoda
prirodni broj

Neformalno, prirodni brojevi su 1,2,3,1,2,3,\ldots, neke tradicije smatraju i 00 prirodnim brojem.

Tri pristupa prirodnim brojevima:

  • prirodni brojevi kao konačni kardinalni brojevi (vidi na stranici kardinalni broj); neformalno, broju 55 odgovara klasa ekvipotentnosti svih skupova koji imaju 55 elemenata. Dakle broj 55 nastaje apstrakcijom od neformalnih skupova od 5 stabala, 5 ljudi, 5 jabuka itd. Ta apstrakcija je bitna i kod učenja brojeva kod djece. Dva su skupa ekvipotentna ako postoji bijekcija s prvog na drugi. Zbrajanje, množenje i potenciranje prirodnih brojeva su u formalizmu kardnalnih brojeva poseban slučaj zbrajanja, množenja i potenciranja kardinalnih brojeva. Zbrajanje kardinalnih brojeva svodi se na kardinalni broj disjunktne unije, množenje na kardinalni broj Kartezijevog umnoška skupova, a potenciranje kard(A) kard(B)kard(A)^{kard(B)} na kardinalni broj skupa A BA^B svih funkcija iz BB u AA.

  • prirodni brojevi kao konačni redni brojevi (ordinali); broj 55 odgovara linearno uređenom skupu (“lancu”) s 55 elemenata, npr. a<b<c<d<ea\lt b\lt c\lt d\lt e.

  • aksiomatska izgradnja prirodnih brojeva, npr. Dedekind-Peanova aksiomatika

Peanova aksiomatika:

Skup \mathbb{N} ima slijedeća svojstva:

  • 11\in\mathbb{N}

  • dana je funkcija s:s:\mathbb{N}\to\mathbb{N} sljedbenika koja je injekcija, tj. za svaka dva broja m,nm,n\in\mathbb{N} ako s(n)=s(m)s(n) = s(m) tada i m=nm = n (možemo razmišljati da je s(m)=m+1s(m) = m+1 ali zbrajanje ovdje još nije definirano).

  • 11 nije sljedbenik ni jednog broja iz \mathbb{N}

  • Princip matematičke indukcije: neka je PP neko svojstvo prirodnih brojeva, tj. za svaki nn\in\mathbb{N} ili vrijedi P(n)P(n) ili nije P(n)P(n). Ako vrijedi P(1)P(1) (“baza indukcije”) i ako za svaki nn\in\mathbb{N} iz P(n)P(n) slijedi P(s(n))P(s(n)) tada vrijedi P(n)P(n) za sve nn\in\mathbb{N}.

Pomoću operacije sljedbenika s:s:\mathbb{N}\to\mathbb{N}, tj. brojenja, rekurzijom definiramo zbrajanje prirodnih brojeva: m+1=s(m)m + 1 = s(m) i m+(s(n))=s(m+n)m+(s(n)) = s(m+n) (neformalno, m+(n+1)=(m+n)+1m+(n+1) = (m+n)+1), npr. m+2=m+s(1)=s(m+1)=s(s(m))m + 2 = m + s(1) = s(m+1) = s(s(m)) i m+3=m+s(2)=s(m+2)=s(m+s(1))=s(s(m+1))=s(s(s(m)))m+3 = m + s(2) = s(m + 2) = s (m + s(1)) = s ( s(m +1)) = s(s(s(m))).

Pomoću zbrajanja rekurzijom definiramo množenje prirodnih brojeva. Naime, m1=mm\cdot 1 = m i m(n+1)=mn+mm\cdot (n+1) = m\cdot n + m. Npr. 33=32+3=(31+3)+3=(3+3)+33\cdot 3 = 3\cdot 2 + 3 = (3\cdot 1+ 3) + 3 = (3 + 3) + 3.

Pomoću množenja rekurzijom definiramo potenciranje prirodnog broja prirodnim brojem ili nulom. Naime, za svaki prirodni broj mm, prvo definiramo potencije m 0=1m^0 = 1 i m 1=mm^1 = m, i za svaki broj mm vrijedi i rekurzivna relacija m n+1=m nmm^{n+1} = m^n \cdot m. Dakle, m 2=m 1m=mmm^2 = m^1 \cdot m = m \cdot m, m 3=m 2m=(mm)mm^3 = m^2 \cdot m = (m\cdot m)\cdot m itd.

Redni brojevi

Redni broj općinto je po definiciji linearno uređeni skup koji je ujedno dobro uređen. Nas zanimaju samo konačni redni brojevi. Ovo potonje spomenuto svojstvo dobre uređenosti je automatsko kod konačnih linearno uređenih skupova pa nećemo o njemu razmišljati. Dakle redni broj je konačan linearno uređen skup; znači na njemu imamo uređaj <\lt s obzirom koji je linaran (totalan) u smislu da su svaka dva različita elementa usporediva, dakle iz aba\neq b slijedi da je ili a<ba\lt b ili b<ab\lt a.

Redni broj 11 možemo gledati kao uređen skup sa samo jednim elementom (koji nije manji od samog sebe) kojeg možemo zvati 00. Redni broj 22 možemo gledati kao lanac 0<10\lt 1, broj 33 kao 0<1<20\lt 1\lt 2, dakle ako je nn jednak lancu 0<1<(n1)0\lt 1\lt \ldots (n-1) tada je njegov sljedbenik jednak 0<1<(n1)<n0 \lt 1\lt \ldots (n-1)\lt n. Općenitije, zbrajamo m+nm+n tako da lanac koji odgovara mm-i zalijepimo znakom <\lt slijeva na lanac koji odgovara nn-u. Npr. 2+32 + 3 je redni broj (0<1)+(0<1<2)=(0<1<0<1<2)(0\lt 1) + (0\lt 1\lt 2) = (0 \lt 1 \lt 0' \lt 1'\lt 2') (tj. unutar svakog od dva dijela poredak ostaje isti, a svi elementi u prvom lancu su ispred svih elemenata u drugom lancu). Primijetite da smo preimenovali elemente u drugom lancu da ne bi bilo ponavljanja. Ako preimenujemo još jednom sve elemente dobili smo redni broj 5=(0<1<2<3<4)5 = (0 \lt 1 \lt 2\lt 3 \lt 4). Kako smo ovdje pisali okruglu zagradu, a ona znači uređeni slog tada zapravo možemo pisati (0,1,2,3,4)(0,1,2,3,4), no ovdje radije naglašavamo redoslijed znakom <\lt ‘manji od’.

Množenje rednih brojeva je objašnjeno na wikipediji https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_arithmetic, mi ga nećemo rabiti. Ukratko, lance kao skupove pomnožimo Kartezijevim produktom i uredimo leksikografski.

Oduzimanje, uređaj na \mathbb{N}; nula

Ovaj dio je obično isti bez obzira kako smo uveli prirodne brojeve i njihovo zbrajanje i množenje.

Razlika aba-b prirodnih brojeva aa i bb je prirodni broj cc takav da b+c=ab + c = a, ako takav broj postoji. Ukoliko takav broj postoji, kažemo da je aa veći od bb i pišemo a>ba\gt b. To definira relaciju strogog uređaja na skupu prirodnih brojeva.

Ako skupu prirodnih brojeva \mathbb{N} dodamo element nulu 00 onda dobijemo uređeni skup 0\mathbb{N}_0 u kojem je 00 manja od svih prirodnih brojeva, a uređaj na podskupu prirodnih brojeva ostaje isti); proširimo zbrajanje formulama 0+m=m=m+00 + m = m = m+0 za sve m 0m \in\mathbb{N}_0 i množenje formulom m0=0=0mm \cdot 0 = 0 = 0\cdot m.

Kod kardinalnih i rednih brojeva postoje i alternativne definicije tog uređaja koje nama nisu važne (kardinalni broj skupa AA je manji od kardinalnog broja skupa BB ako postoji injekcija iz AA u BB; redni broj mm je manji od rednog broja nn ako u nn kao lancu postoji pravi početni segment koji je nakon mogućeg preimenovanja članova jednak rednom broju mm).

Dijeljenje prirodnih brojeva s ostatkom

Prirodne brojeve ne možemo uvijek dijeliti, ali uvijek možemo dijeliti s ostatkom. Broj mm je djeljiv brojem nn (sinonim: broj nn dijeli broj mm i pišemo n|mn| m; sinonim: mm je djelitelj broja mm) ako postoji broj ss takav da je m=nsm = n \cdot s. Tada pišemo s=m:ns = m : n i u toj jednakosti mm zovemo djeljenikom, nn djeliteljem, a broj ss količnikom (ili kvocijentom) brojeva mm i nn. Dijeljenje je dakle ekvivalentno rješavanju jednadžbe m=nsm = n \cdot s za ss kad su mm i nn dani.

Prirodni broj različit od 11 je prost ako je djeljiv samo s dva prirodna broja, a to su 11 i taj broj sam. Dijeljenje :: je dakle samo parcijalno definirana binarna operacija na skupu prirodnih brojeva. Dijeljenje parcijalno proširujemo na 0\mathbb{N}_0 formulom 0:n=00:n = 0. Ne definiramo n:0n:0 ni za jedan broj nn iz 0\mathbb{N}_0.

Dijeljenje s ostatkom: Ako su mm i nn dva prirodna broja onda je rezultat dijeljenja mm brojem nn broj ss\in\mathbb{N} s ostatkom r 0r\in\mathbb{N}_0 ako slijedeća dva svojstva vrijede u 0\mathbb{N}_0.

1) m=ns+rm = n\cdot s + r

2) 0r<n10 \leq r \lt n-1.

Teorem o dijeljenju prirodnih brojeva s ostatkom kaže da za svaka dva prirodna broja mm i nn postoje jedinstveni brojevi ss\in\mathbb{N} i r 0r\in\mathbb{N}_0 s gore navedenim svojstvima.

category: zadarmat1, zadarmat4

Last revised on October 5, 2017 at 06:22:44. See the history of this page for a list of all contributions to it.