Zoran Skoda prirodni broj

Neformalno, prirodni brojevi su $1,2,3,\ldots$, neke tradicije smatraju i $0$ prirodnim brojem.

Tri pristupa prirodnim brojevima:

• prirodni brojevi kao konačni kardinalni brojevi (vidi na stranici kardinalni broj); neformalno, broju $5$ odgovara klasa ekvipotentnosti svih skupova koji imaju $5$ elemenata. Dakle broj $5$ nastaje apstrakcijom od neformalnih skupova od 5 stabala, 5 ljudi, 5 jabuka itd. Ta apstrakcija je bitna i kod učenja brojeva kod djece. Dva su skupa ekvipotentna ako postoji bijekcija s prvog na drugi. Zbrajanje, množenje i potenciranje prirodnih brojeva su u formalizmu kardinalnih brojeva poseban slučaj zbrajanja, množenja i potenciranja kardinalnih brojeva. Zbrajanje kardinalnih brojeva svodi se na kardinalni broj disjunktne unije, množenje na kardinalni broj Kartezijevog umnoška skupova, a potenciranje $kard(A)^{kard(B)}$ na kardinalni broj skupa $A^B$ svih funkcija iz $B$ u $A$.

• prirodni brojevi kao konačni redni brojevi (ordinali); broj $5$ odgovara linearno uređenom skupu (“lancu”) s $5$ elemenata, npr. $a\lt b\lt c\lt d\lt e$.

• aksiomatska izgradnja prirodnih brojeva, npr. Dedekind-Peanova aksiomatika

O prirodnim brojevima govori i zapis lekcije mat1-201120 te stranica matematička indukcija.

Peanova (Peano-Dedekindova) aksiomatika:

Bez skupova

Uvedimo konstantu $1$ i primitivne pojmove “biti prirodan broj” i funkcijsku varijablu $s$ koji od $n$ pravi novi simbol $s(n)$.

Aksiomi:

• $1$ je prirodan broj
• ako je $n$ prirodan broj onda je njegov sljedbenik $s(n)$ također prirodan broj
• ako $s(n)=s(m)$ tada $n=m$ (ako su sljedbenici dva prirodna broja isti tada su i ti brojevi isti)
• nije istina da postoji $n$ prirodan broj takav da je $s(n) = 1$ ($1$ nije sljedbenik)
• princip matematičke indukcije: za svaki predikat $P$ kojem je argument prirodni broj (“svojstvo prirodnih brojeva”) ako vrijedi $P(1)$ i ako za svaki $n$ koji je prirodni broj vrijedi implikacija $P(n)\implies P(s(n))$ (ako $P$ vrijedi za $n$ onda vrijedi i za sljedbenika od $n$) tada vrijedi $P(k)$ za sve prirodne brojeve $k$

U terminima skupa prirodnih brojeva

Peanove aksiome možemo alternativno napisati i u terminima skupa $\mathbb{N}$ svih prirodnih brojeva (tada dakle moramo pretpostaviti teoriju skupova). Naime u tim terminima Peano-Dedekindovi aksiomi kažu da $\mathbb{N}$ ima slijedeća svojstva:

• $1\in\mathbb{N}$

• dana je funkcija $s:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ sljedbenika koja je injekcija, tj. za svaka dva broja $m,n\in\mathbb{N}$ ako $s(n) = s(m)$ tada i $m = n$ (možemo razmišljati da je $s(m) = m+1$ ali zbrajanje ovdje još nije definirano).

• $1$ nije sljedbenik ni jednog broja iz $\mathbb{N}$

• Princip matematičke indukcije: neka je $P$ neko svojstvo prirodnih brojeva, tj. za svaki $n\in\mathbb{N}$ ili vrijedi $P(n)$ ili nije $P(n)$. Ako vrijedi $P(1)$ (“baza indukcije”) i ako za svaki $n\in\mathbb{N}$ iz $P(n)$ slijedi $P(s(n))$ tada vrijedi $P(n)$ za sve $n\in\mathbb{N}$.

Algebarske operacije na skupu prirodnih brojeva pomoću rekurzije i operacije sljedbenika

Pomoću operacije sljedbenika $s:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$, tj. brojenja, rekurzijom definiramo zbrajanje prirodnih brojeva: $m + 1 = s(m)$ i $m+(s(n)) = s(m+n)$ (neformalno, $m+(n+1) = (m+n)+1$), npr. $m + 2 = m + s(1) = s(m+1) = s(s(m))$ i $m+3 = m + s(2) = s(m + 2) = s (m + s(1)) = s ( s(m +1)) = s(s(s(m)))$.

Pomoću zbrajanja rekurzijom definiramo množenje prirodnih brojeva. Naime, $m\cdot 1 = m$ i $m\cdot (n+1) = m\cdot n + m$. Npr. $3\cdot 3 = 3\cdot 2 + 3 = (3\cdot 1+ 3) + 3 = (3 + 3) + 3$.

Pomoću množenja rekurzijom definiramo potenciranje prirodnog broja prirodnim brojem ili nulom. Naime, za svaki prirodni broj $m$, prvo definiramo potencije $m^0 = 1$ i $m^1 = m$, i za svaki broj $m$ vrijedi i rekurzivna relacija $m^{n+1} = m^n \cdot m$. Dakle, $m^2 = m^1 \cdot m = m \cdot m$, $m^3 = m^2 \cdot m = (m\cdot m)\cdot m$ itd.

Redni brojevi

Redni broj općinto je po definiciji linearno uređeni skup koji je ujedno dobro uređen. Nas zanimaju samo konačni redni brojevi. Ovo potonje spomenuto svojstvo dobre uređenosti je automatsko kod konačnih linearno uređenih skupova pa nećemo o njemu razmišljati. Dakle redni broj je konačan linearno uređen skup; znači na njemu imamo uređaj $\lt$ s obzirom koji je linaran (totalan) u smislu da su svaka dva različita elementa usporediva, dakle iz $a\neq b$ slijedi da je ili $a\lt b$ ili $b\lt a$.

Redni broj $1$ možemo gledati kao uređen skup sa samo jednim elementom (koji nije manji od samog sebe) kojeg možemo zvati $0$. Redni broj $2$ možemo gledati kao lanac $0\lt 1$, broj $3$ kao $0\lt 1\lt 2$, dakle ako je $n$ jednak lancu $0\lt 1\lt \ldots (n-1)$ tada je njegov sljedbenik jednak $0 \lt 1\lt \ldots (n-1)\lt n$. Općenitije, zbrajamo $m+n$ tako da lanac koji odgovara $m$-i zalijepimo znakom $\lt$ slijeva na lanac koji odgovara $n$-u. Npr. $2 + 3$ je redni broj $(0\lt 1) + (0\lt 1\lt 2) = (0 \lt 1 \lt 0' \lt 1'\lt 2')$ (tj. unutar svakog od dva dijela poredak ostaje isti, a svi elementi u prvom lancu su ispred svih elemenata u drugom lancu). Primijetite da smo preimenovali elemente u drugom lancu da ne bi bilo ponavljanja. Ako preimenujemo još jednom sve elemente dobili smo redni broj $5 = (0 \lt 1 \lt 2\lt 3 \lt 4)$. Kako smo ovdje pisali okruglu zagradu, a ona znači uređeni slog tada zapravo možemo pisati $(0,1,2,3,4)$, no ovdje radije naglašavamo redoslijed znakom $\lt$ ‘manji od’.

Množenje rednih brojeva je objašnjeno na wikipediji https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_arithmetic, mi ga nećemo rabiti. Ukratko, lance kao skupove pomnožimo Kartezijevim produktom i uredimo leksikografski.

Oduzimanje, uređaj na $\mathbb{N}$; nula

Ovaj dio je obično isti bez obzira kako smo uveli prirodne brojeve i njihovo zbrajanje i množenje.

Razlika $a-b$ prirodnih brojeva $a$ i $b$ je prirodni broj $c$ takav da $b + c = a$, ako takav broj postoji. Ukoliko takav broj postoji, kažemo da je $a$ veći od $b$ i pišemo $a\gt b$. To definira relaciju strogog uređaja na skupu prirodnih brojeva.

Ako skupu prirodnih brojeva $\mathbb{N}$ dodamo element nulu $0$ onda dobijemo uređeni skup $\mathbb{N}_0$ u kojem je $0$ manja od svih prirodnih brojeva, a uređaj na podskupu prirodnih brojeva ostaje isti); proširimo zbrajanje formulama $0 + m = m = m+0$ za sve $m \in\mathbb{N}_0$ i množenje formulom $m \cdot 0 = 0 = 0\cdot m$.

Kod kardinalnih i rednih brojeva postoje i alternativne definicije tog uređaja koje nama nisu važne (kardinalni broj skupa $A$ je manji od kardinalnog broja skupa $B$ ako postoji injekcija iz $A$ u $B$; redni broj $m$ je manji od rednog broja $n$ ako u $n$ kao lancu postoji pravi početni segment koji je nakon mogućeg preimenovanja članova jednak rednom broju $m$).

Dijeljenje prirodnih brojeva i dijeljenje s ostatkom

Prirodne brojeve ne možemo uvijek dijeliti, ali uvijek možemo dijeliti s ostatkom. Broj $m$ je djeljiv brojem $n$ (sinonim: broj $n$ dijeli broj $m$ i pišemo $n| m$; sinonim: $m$ je djelitelj ili divizor broja $m$) ako postoji broj $s$ takav da je $m = n \cdot s$. Tada pišemo $s = m : n$ i u toj jednakosti $m$ zovemo djeljenikom, $n$ djeliteljem, a broj $s$ količnikom (ili kvocijentom) brojeva $m$ i $n$. Dijeljenje je dakle ekvivalentno rješavanju jednadžbe $m = n \cdot s$ za $s$ kad su $m$ i $n$ dani.

Prirodni broj različit od $1$ je prost ako je djeljiv samo s dva prirodna broja, a to su $1$ i taj broj sam. Dijeljenje $:$ je dakle samo parcijalno definirana binarna operacija na skupu prirodnih brojeva. Dijeljenje parcijalno proširujemo na $\mathbb{N}_0$ formulom $0:n = 0$. Ne definiramo $n:0$ ni za jedan broj $n$ iz $\mathbb{N}_0$.

Ako je dano nekoliko (2 ili više, ali konačno mnogo) prirodnih brojeva $m_1,m_2,...,m_k$ tada je njihova zajednička mjera (zajednički djelitelj/divizor) prirodni broj koji dijeli svaki od tih brojeva. Od svih zajedničkih mjera postoji najveća zajednička mjera (engl. greatest common divisor, kratica GCD) $M(m_1,...,m_k)$. Ako je najveća zajednička mjera brojeva $m_1,...,m_k$ broj $1$ tada kažemo da su brojevi $m_1,...,m_k$ relativno prosti (nemaju netrivijalnu zajedničku mjeru). Slično broj $n$ je zajednički višekratnik brojeva $m_1,...,m_k$ ako je višekratnik svakog od njih. Od svih zajedničkih višekratnika postoji najmanji zajednički višekratnik $V(m_1,...,m_k)$.

Dijeljenje s ostatkom: Ako su $m$ i $n$ dva prirodna broja onda je rezultat dijeljenja $m$ brojem $n$ broj $q\in\mathbb{N}$ s ostatkom $r\in\mathbb{N}_0$ ako slijedeća dva svojstva vrijede u $\mathbb{N}_0$.

1) $m = n\cdot q + r$

2) $0 \leq r \lt n-1$.

($q$ stoji za engl. quotient i $r$ za engl. residue)

Ako vrijedi samo prvo svojstvo, a drugo svojstvo je oslabljeno i $r$ nije manji od $n-1$ ali je manji od $m$, tada govorimo o djelomičnom dijeljenju (engl. partial division).

Teorem o dijeljenju prirodnih brojeva s ostatkom kaže da za svaka dva prirodna broja $m$ i $n$ postoje jedinstveni brojevi $s\in\mathbb{N}$ i $r\in\mathbb{N}_0$ s gore navedena 2 svojstva.

category: zadarmat1, zadarmat4