Zoran Skoda vjerojatnost

Ova stranica je vezana uz kolegije zadarmatstat i zadarodgoj vjstat.

Test s prvog roka je ovdje: pdf, a grupa $A$ s predroka je ovdje: pdf

U tematici vjerojatnosti gledamo neke procedure koje zovemo eksperimentima, čiji rezultat nije unaprijed određen. Rezultate tog eksperimenta zovemo ishodima. Ako eksperiment ponavljamo jako puno puta, pretpostavljamo da je broj ponavljanja nekog ishoda približno razmjeran broju ponavljanja eksperimenta, tj. da je broj ponavljanja dan nekom stalnom zakonitošću. Dakle, omjer broja eksperimenata kad dobijemo željeni ishod (frekvencija ishoda) i ukupnog broja eksperimentiranja bi trebao biti približno određen za veliki broj pokušaja. Omjer broja “povoljnih” ishoda i ukupnog broja eksperimenata zovemo relativnom frekvencijom danog ishoda. Taj broj se dakle za jako veliki broj eksperimenata probližava nekom određenom broju kojeg nazivamo vjerojatnost povoljnog ishoda.

Događaj je opis nekog skupa mogućnosti ishoda eksperimenta. Te, osnovne, nedjeljive mogućnosti zovemo elementarnim događajima. Jedan događaj dakle obuhvaća u principu više elementarnih događaja. Npr. ako bacamo igraću kocku 5 puta, tada su kombinacije 2-3-3-3-1 i 3-4-4-5-6 dva elementarna događaja (među ostalima). Ako eksperiment ponovimo samo jednom njegov ishod će biti realizacija jednog od ta dva elementarna događaja. Jedan od mogućih događaja je skup svih kombinacija koje imaju barem jednu šesticu. Koliko elementarnih događaja je tamo ? Ukupno postoji $6\times 6\times 6\times 6\times 6 = 7776$ mogućih sekvenci od 5 bacanja kocke. Ako nema ni jedne šestice, to je $5\times 5\times 5\times 5\times 5 = 3125$ bacanje bez ijedne šestice. Svi ostali, dakle $7776-3125 =4651$ sekvenci imaju barem jednu šesticu. Pretpostavimo da je kocka pravilna, pa je šansa, vjerojatnost, da se kod svakog bacanja desi bilo koji od 6 ishoda tog bacanja, jednaka. Tada je vjerojatnost kombinacije razmjerna broju takvih sekvenci. Dakle vjerojatnost da u 5 bacanja bude barem jedna šestica je

$$P = \frac{\mathrm{povoljni}}{\mathrm{moguci}} = \frac{4651}{7776}$$

Vjerojatnost da se zbije (odigra) neki od medjusobno jednako vjerovatnih ishoda je broj takvih povoljnih ishoda podijeljen s ukupnim brojem mogućih ishoda. Za zadatke s vjerojatnošću dakle dobro je koristiti pravila kako prebrojavamo (vidi prebrojavanje za vjerojatnost i prebrojavanje).

Npr. ako bacamo kocku koja ima brojeve 1 do 6 dva puta, tada u prvom bacanju svaki broj dolazi s vjerojatnošću 1 od 6, tj. jedna šestina. Kolika je vjerojatnost da zbroj u ta dva bacanja bude 4 ? Povoljne mogućnosti, tj. one sa zbrojem 4, su (1,3), (2,2) i (3,1) dakle 3 od $6\times 6 = 36$ mogućih rezultata bacanja kocke. Dakle, vjerojatnost da će zbroj biti 4 je 3 od 36, tj jedna dvanajstina. Vjerojatnost se nekad pomnoži sa sto pa se izražava dakle u postocima.

Ako je vjerojatnost događaja $1$ onda kažemo da je taj događaj siguran, a ako je $0$ da je nemoguć (inače je moguć). Ako neki događaj $A$ obuhvaća samo podslučajeve događaja $B$ (tj. ako ih promatramo kao skupove elementarnih događaja, tada je $A\subset B$), tada kažemo da $A$ povlači $B$. Za događaje $C$ i $D$ kažemo da su nezavisni događaji ako je vjerojatnost da se desi i $C$ i $D$ “istovremeno” (dakle događaj $C\cap D$) jednaka umnošku vjerojatnosti događaja $C$ i vjerojatnosti događaja $D$, tj.

$$P(C\cap D) = P(C)\cdot P(D).$$

Intuitivno to znači da vjerojatnost događaja $C$ ne ovisi o tome desi li se $D$ ili ne i obratno, vjerojatnost događaja $D$ ne ovisi o tome zbio se ili ne događaj $C$. U terminima uvjetne vjerojatnosti to znači da $P(C|D)=P(C)$ (tj. vjerojatnost da se desi $C$ ne zavisi od toga desilo li se $D$ ili nije) i $P(D|C)=P(D)$.

Općenito, ako su $A$ i $B$ dva događaja, tada je vjerojatnost da se desi $A$ ili $B$ (pišemo $P(A\cup B)$)

$$P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$$

Promatrajte i stranice u nastajanju uvjetna vjerojatnost i statistika jedne slučajne veličine.

Slučajna veličina je veličina koja zavisi od ishoda eksperimenta. Dakle, zavisno o ishodu eksperimenta dobijemo neki broj; barem jedan od parametara o kojem zavisi taj broj je dakle slučajan. Ako znamo ishod eksperimenta, onda je i vrijednost slučajne veličine za taj ishod određen. U nekim situacijama ishod nije opisan brojkama (npr. gledamo boju uzoraka dobivenih u eksperimentu), no slučajna veličina je opisana brojevima (moguće u nekim mjernim jedinicama). Na primjer ako bacamo novčić pet puta možemo gledati broj koliko puta smo dobili stranu “slavuj”. To je primjer slučajne veličine. Ili, u eksperimentu u kojem bacamo igraću kocku pet puta, jedna slučajna veličina je zbroj svih brojki koje su se okrenule (npr. za ishod eksperimenta 2-2-3-1-2 dobijemo vriednost $2+2+3+1+2=10$).