Zoran Skoda zadarmat1kol1teme

Ovo su bile teme za prvi kolokvij iz akademske godine 2016-2017.

Teme za prvi kolokvij

Logika

Logika sudova

Sudovi su izjave koje imaju točno određenu i nepromijenjivu vrijednost istinitosti, istina ili laž. Ovdje treba razumjeti simbole logičkih operacija i vrijednosne tablice osnovih logičkih operacija u logici sudova i znati ih kombinirati u složenije logičke izraze i naći njihove tablice. Slični zadaci su bili u prvoj zadaći.

Logika predikata

Predikati su kao i sudovi, no njihova vrijednost zavisi od nekih parametara, varijabli. Npr. $n$ je prirodni broj i predikat $P(n)$ je “$n$ je paran broj”, pa njegova vrijednost istinitosti zavisi od parametra $n$. Ovdje uvodimo i kvantifikatore. Npr. $(\forall n) (P(n))$ je istinita ako je istinita za svaku vrijednost parametra $n$. Naravno, parametri su uzeti iz nekog konteksta. Sjetimo se da $(\exists! x)$ nije kvantifikator nego je $(\exists! x)P(x)$ pokrata za izraz

$$(\exists x)P(x) \wedge (\forall y)(\forall z)((P(y)\wedge P(z))\implies (y = z)).$$

Drugim riječima, postiji jedinstveni element s nekim svojstvom akko postoji element s tim svojstvom i svaka dva elementa s tim svojstvom su međusobno jednaka. To je ekvivalentno izrazu $(\exists x)(P(x) \wedge (\forall y)(P(y)\implies (x = y))$.

Skupovi, relacije i funkcije

Skupovi su određeni svojim elementima (dva su skupa jednaka ako imaju jednake elemente). Prazan skup. Osnovne operacije sa skupovima (unija, presjek, komplement, simetrična razlika, razlika, Kartezijev produkt), Vennovi dijagrami, disjunktni skupovi, funkcija, domena i kodomena funkcije, relacija, binarna relacija. Injekcije, surjekcije, bijekcije, kompozicija funkcija, inverzna funkcija, lijevi i desni inverz funkcije. Permutacije skupa kao bijekcije skupa sa samim sobom. Kompozicija permutacija.

Funkcija identitete, restrikcija funkcije na njen podskup. Slika funkcije. Konstantna funkcija.

Uređeni parovi.

Vrste relacija. Tranzitivnost, simetričnost, refleksivnost, antisimetričnost. Relacije ekvivalencije, razredi ili klase ekvivalencije.

Relacije parcijalnog uređaja, relacije strogog uređaja, relacije linearnog uređaja (strogo i nestrogog).

Brojenje i kardinalnost

Ekvipotentni skpovi kao skupovi između kojih postoji bijekcija. Kardinalnost skupa. Beskonačni skupovi i konačni skupovi. Partitivni skup (skup svih podskupova). Karakteristična funkcija nekog podskupa. Potenciranje kao kardinalnost skupa funkcija iz skupa jednog kardinaliteta u skup drugog kardinaliteta. Cantor-Bernstein-Schroederov teorem. Zbrajanje i unija. Funkcija faktorijela i broj permutacija, prebrojavanje. Paziti na identitet elemenata.

Prirodni brojevi

matematička indukcija

Zbrajanje prirodnih brojeva se svodi na brojenje i rekurziju, naime $m + 1$ je sljedbenik broja $m$ i ako je $m+n$ definirano, tada je $m+(n+1)$ jednostavno sljedbenik broja $m+n$, tj. $(m+n)+1$. Dakle, zbrajanje je definirano za svaka dva broja $m$ i $n$. S druge strane ako se prirodni brojevi shvate kao kardinaliteti konačnih skupova, tada je zbroj dva kardinalna broja, kardinalitet disjunktne unije pripadnih skupova.

Linearni uređaj na skupu prirodnih brojeva: $r\lt r'$ akko postoji prirodni broj $k$ takav da $r+k = r'$. Taj broj $k$ je tada jedinstven i označava se $r'-r$. Pravilo $(r',r)\mapsto r'-r$ funkcija je sa skupa svih parova prirodnih brojeva u kojima je prvi prirodni broj veći od drugog u skup prirodnih brojeva i zove se oduzimanje.

Množenje prirodnih brojeva se svodi na zbrajanje i rekurziju: $m\cdot 1 = m$ i ako je $m\cdot n$ definirano tada definiramo da je $m\cdot (n+1) = m\cdot n + m$.

Potenciranje prirodnih brojeva se svodi na množenje i rekurziju, naime $m^1 = m$ i ako je $m^n$ definirano, tada je $m^{n+1}$ po definiciji $m^n\cdot m$. Broj $m$ se zove baza potencije $m^n$, a $n$ je njen eksponent.7

Kvadrat nekog prirodnog broja $n$ je broj $n^2 = n\cdot n$. Kub nekog broja $n$ je broj $n^3 = n^2 \cdot n = n\cdot n\cdot n$. Ista terminologija se koristi kasnije u većim brojevnim sustavima, gdje je $n$ cijeli, racionalni, realni ili kompleksni broj.

Definicije preko rekurzije svode se na razmišljanje indukcijom.

Djeljivost brojeva. Višekratnik broja, djelitelj broja. Dijeljenje s ostatkom. Euklidov algoritam. Najveća zajednička mjera. Najmanji zajednički višekratnik. Djeljivost s $2,3,5,10$ u dekadskom sustavu. Sustavi s bazom $n$, $n\geq 2$, binarni sustav. Parni i neparni brojevi. Prosti brojevi. Prostih brojeva ima beskonačno mnogo. Složeni brojevi (koji nisu prosti). Osnovni teorem aritmetike (svaki prirodni broj veći od $1$ se može na jedinstveni način napisati kao umnožak prostih brojeva, do na poredak).

Cijeli brojevi

Uvođenje cijelih brojeva kao pozitivnih (prirodnih brojeva), negativnih i nule, operacije s cijelim brojevima, uređaj na skupu cijelih brojeva. Razlika je sad svuda definirana. Svojstva zbrajanja i množenja (komutativnost, asocijativnost za obe operacije, distributivnost množenja prema zbrajanju sdesna i slijeva, postojanje neutralnog elementa $0$ s obzirom na zbrajanje i postojanje suprotnog elementa $-a$ za svaki broj $a$, postojanje neutralnost elementa $1$ s obzirom na množenje.

Racionalni brojevi

Vidi razlomak. Brojnik i nazivnik. Definicija razlomaka, razlomak kao izraz i klasa ekvivalencije razlomaka kao racionalni broj. Kad su dva razlomka ekvivalentna odnosno predstavaljaju isti racionalni broj. Skraćivanje i proširivanje razlomaka. Zbrajanje razlomaka. Oduzimanje razlomaka. Množenje razlomaka. Dijeljenje razlomaka i dvostruki razlomci. Uspoređivanje razlomaka (linearni uređaj na skupu racionalnih brojeva $\mathbb{Q}$). Interpretacija razlomaka u primjenama. Decimalni zapis racionalnog broja. Korijen iz dva nije racionalni broj.

Svojstva racionalnih brojeva: operacije i uređaj zadovoljavaju standardna svojstva koja su imala i kod cijelih brojeva i proširuju te operacije i taj linearni uređaj, osim što je svaki podskup prirodnih brojeva imao najmanji element, što nije točno za podskupove skupa racionalnih brojeva. Skup racionalnih brojeva je ekvipotentan skupu cijelih brojeva kojij je ekvipotentan skupu prirodnih brojeva. Za razliku od skupa cijelih brojeva, u skupu racionalnih brojeva svaki broj različit od $0$ ima inverz s obzirom na množenje. Inverz broja $r$ je broj $s$ takav da $s \cdot r = 1 = r\cdot s$. Tada pišemo i $s = r^{-1}$. Zaista, inverz od $\frac{a}{b} = \frac{b}{a}$.

Oznaka $s = r^{-1}$ je u skladu s potenciranjem na prirodni broj i proširuje se do potenciranja svih racionalnih brojeva različitih od $0$ na bilo koji cijeli broj.

category: zadarmat1