Zoran Skoda hom12

Prostori sa strukturnim snopom

napredni poslijediplomski kolegij, 60 sati 2012/13

Kategorijske osnove: lecsCatCh0; predsnop, snop. Prvo predavanje Lekcija 1. Neke specijalne cjeline: aditivne kategorije, abelove kategorije. Predavanja (obično u 002 ili 104). Zadaće.

Potrebno predznanje: osnove topologije, familijarnost s mnogostrukostima, pozitivan stav prema kategorijama i funktorima, familijarnost s prstenima, asocijativnim algebrama i modulima.

Opis. Prstenovani prostor je topološki prostor sa snopom prstena, koje interpretiramo kao dozvoljene lokalno definirane funkcije na prostoru. U 1950-m niz geometrija (npr. analitičke, algebarske i glatke mnogostrukosti) ujedinjen je formalizmom prstenovanih prostora. Strukturirani prostor je ime za prstenovane prostore i neka moderna poopćenja. Kolegij je zamišljen kao uvod u snopovski pristup geometriji. Odabir primjera na kojima će se ilustrirati teorija zavisi od sastava slušača; slično i s balansom izmedju rada na važnim primjerima geometrija i ulaskom u dublju teoriju (4-a i 5-a cjelina).

• $0.$ Kratak pregled kategorija uključujući limese, univerzalne konstrukcije, adjunkcije i Yonedinu lemu. To je uglavnom ekspanzija ove lekcije: lecsCatCh0 s dodanim primjerima.
• $1.$ Uvod u snopove na topološkim prostorima. Operacije sa snopovima.
• $2.$ Uvod u prstenovane prostore i osnovni primjeri (analitički prostori, algebarski varijeteti i sheme, supermnogostrukosti itd.).
• $3.$ Grothendieckove topologije i sajtovi. Snopovi na Grothendieckovim sajtovima i prostori kao lokalno reprezentabilni snopovi na sajtu lokalnih modela.
• $4.$ Kategorije snopova, Grothendieckovi toposi i strukturirani toposi, lokalizacija i Giraudov teorem.
• $5.$ Kategorifikacija snopova: stogovi. Skica formalizma derivirane geometrije (uz potrebne glave homološke i homotopske algebre).

Ispit je kombinacija zadaća i seminarskog rada. Dio predavanja bit će dokumentirano online u wikiju (ne sve), što će olakšati učenje i komunikaciju.

Literatura Amnon Neeman, Algebraic and analytic geometry (glava o snopovima, prstenovanim prostorima i zasnivanju teorije shema)

S. MacLane, I. Moerdijk, Sheaves in geometry and logic (Ch.1-3)

M. Kashiwara, P. Schapira, Categories and sheaves (konzultiranje samo)

R. Hartshorne, Algebraic geometry, GTM 52, Springer 1977, chapters I,II

Dodatna literatura

Prvi dio knjige P. Gabriel, M. Demazure, Algebraic groups (početni dio ima uvod u sheme, gdje koristi dijelom i funktorijalni pristup.)

Angelo Vistoli, Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory, pp. 1–104 of FGA explained; MR2223406; math.AG/0412512.

Jean-Pierre Serre, Faisceaux algébriques cohérents, Ann. of Math. (2) 61, (1955). 197–278, MR0068874, doi; English translation: pdf

• A. Grothendieck, Sur quelques points d’algèbre homologique, Tôhoku Math. J. vol 9, n.2, 3, 1957; Francuski original: dio 1,

  dio 2; Engl. prijevod pdf; $n$Lab: Tohoku

Službeni oglas kolegija: file