Zoran Skoda
hom11lec10

Coursepage hom11connections. Next lecture 11, previous lectures 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Na kraju lekcije je bilo riječi o Roiterovom teoremu što je delegirano u zapis budućih lekcija gdje je ta tema nastavljena.

Invarijantne diferencijalne forme

Prije smo uveli lijevo-invarijantna i desno-invarijantna vektorska polja na Liejevoj grupi GG. Lijevo-invarijantna vektorska polja čine Liejevu podalgebru Liejeve algebre svih vektorskih polja na Liejevoj grupi GG; po definiciji to je Liejeva algebra grupe GG. Vektorska polja su prerezi tangentnog svežnja, pa ih možemo restringirati na jedinicu ee grupe GG, tj. na vrijednost vektora u tangentnom prostoru. Za razliku od općeg polja, lijevo-invarijantno vektorsko polje je određeno vektorom u jedinici (no za računanje Liejeve zagrade trebamo znati vektorsko polje na nekoj okolini), tj. imamo izomorfizam vektorskih prostora (isto vrijedi za bilo koju drugu točku osim jedinice), Liejeva zagrada je time prenesena na T eGT_e G; zagrada je jednaka ako se definira restrikcijom zagrade desno-invarijantnih vektorskih polja. Sad ćemo uvesti invarijantnost za forme.

Sjetimo se da je L g:GG:hghL_g:G\to G: h\mapsto g h operacija lijevog pomaka i R g:hhgR_g:h\mapsto h g operacija desnog ponaka za fiksni element grupe GG. Kako je množenje glatko to su i ta preslikavanja glatka, pa je dobro definiran povlak formi uzduž tih preslikavanja (za fiksni gg).

Definicija. Neka je GG Liejeva grupa. Diferencijalna pp-forna ωΩ p(G)\omega\in \Omega^p(G) na GG je lijevo-invarijantna ako je jednaka svom povlaku uzduž lijevog pomaka L g *ω=ωL_g^*\omega = \omega. Slično za desno-invarijantne forme zahtijevamo R g *ω=ωR_g^*\omega=\omega. Forma je biinvarijantna ako je lijevo i desno invarijantna.

Neka su X iX_i, i=1,,ni=1,\ldots,n lijevo invarijantna vektorska polja, tj. neka baza Liejeve algebre i c ij kc^k_{i j} pripadne strukturne konstante, tj.

[X i,X j]= kc ij kX k [X_i,X_j] = \sum_k c^k_{i j} X_k

Kako su u svakoj točki gGg\in G vektori (X i) g(X_i)_g baza vektorskog prostora T gGT_g G, to X iX_i čine bazu prostora vektorskih polja kao slobodnog modula nad C (G)C^\infty(G) i time je dualno prostor 1-formi Ω 1(G)\Omega^1(G) razapet nad C (M)C^\infty(M) formama ω i\omega^i koje su definirane Kroneckerovom evaluacijom na poljima X iX_i

ω i(X j)=δ j i \omega^i (X_j) = \delta^i_j

Fakt. Za bilo koju pp-formu vrijedi

(p+1)dω(X 1,,X p+1)= i=1 p+1X i(ω(X 1,,X i^,X p+1)+ i<j(1) i+jω([X i,X j],X 1,,X^ i,,X^ j,,X p+1) (p+1) d\omega (X_1,\ldots,X_{p+1}) = \sum_{i=1}^{p+1} X_i(\omega(X_1,\ldots,\hat{X_i},\ldots X_{p+1}) + \sum_{i\lt j} (-1)^{i+j}\omega([X_i,X_j],X_1,\ldots,\hat{X}_i,\ldots,\hat{X}_j,\ldots,X_{p+1})

Kao specijalni slučaj te formule za p=1p=1, možemo računati

dω i(X j,X k) = ω i([X j,X k])=ω i( lc jk lX l)= = c jk i=12(c jk ic kj i)=c jk i2(ω jω k)(X j,X k)\array{ d\omega^i(X_j,X_k) &=& -\omega^i([X_j,X_k])=-\omega_i(\sum_l c^l_{j k}X_l) = \\ &=& -c^i_{j k} = -\frac{1}{2}(c^i_{j k} - c^i_{k j}) = -\frac{c^i_{j k}}{2}(\omega^j\wedge \omega^k)(X_j,X_k) }

This proves the formula

dω i=12 j,k=1 nc jk iω jω k d\omega^i = -\frac{1}{2}\sum_{j,k=1}^n c^i_{j k} \omega^j\wedge\omega^k

Prop. Ako je ω\omega bi-invarijantna diferencijalna pp-forma na Lijevoj grupi GG, tada njen vanjski diferencijal iščezava dω=0d\omega = 0.

Dokaz u knjizi S. Helgason, Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces, ch. 1, Lemma 7.1.

Maurer-Cartanove forme

Standardni pristup. Izvori: Postnikov, Helgason. Nakon toga motivacija i iskaz izvornog trećeg Liejevog teorema.

(Under construction)

Last revised on April 14, 2012 at 15:17:45. See the history of this page for a list of all contributions to it.