Zoran Skoda hom11lec10

Coursepage hom11connections. Next lecture 11, previous lectures 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Na kraju lekcije je bilo riječi o Roiterovom teoremu što je delegirano u zapis budućih lekcija gdje je ta tema nastavljena.

Invarijantne diferencijalne forme

Prije smo uveli lijevo-invarijantna i desno-invarijantna vektorska polja na Liejevoj grupi $G$. Lijevo-invarijantna vektorska polja čine Liejevu podalgebru Liejeve algebre svih vektorskih polja na Liejevoj grupi $G$; po definiciji to je Liejeva algebra grupe $G$. Vektorska polja su prerezi tangentnog svežnja, pa ih možemo restringirati na jedinicu $e$ grupe $G$, tj. na vrijednost vektora u tangentnom prostoru. Za razliku od općeg polja, lijevo-invarijantno vektorsko polje je određeno vektorom u jedinici (no za računanje Liejeve zagrade trebamo znati vektorsko polje na nekoj okolini), tj. imamo izomorfizam vektorskih prostora (isto vrijedi za bilo koju drugu točku osim jedinice), Liejeva zagrada je time prenesena na $T_e G$; zagrada je jednaka ako se definira restrikcijom zagrade desno-invarijantnih vektorskih polja. Sad ćemo uvesti invarijantnost za forme.

Sjetimo se da je $L_g:G\to G: h\mapsto g h$ operacija lijevog pomaka i $R_g:h\mapsto h g$ operacija desnog ponaka za fiksni element grupe $G$. Kako je množenje glatko to su i ta preslikavanja glatka, pa je dobro definiran povlak formi uzduž tih preslikavanja (za fiksni $g$).

Definicija. Neka je $G$ Liejeva grupa. Diferencijalna $p$-forna $\omega\in \Omega^p(G)$ na $G$ je lijevo-invarijantna ako je jednaka svom povlaku uzduž lijevog pomaka $L_g^*\omega = \omega$. Slično za desno-invarijantne forme zahtijevamo $R_g^*\omega=\omega$. Forma je biinvarijantna ako je lijevo i desno invarijantna.

Neka su $X_i$, $i=1,\ldots,n$ lijevo invarijantna vektorska polja, tj. neka baza Liejeve algebre i $c^k_{i j}$ pripadne strukturne konstante, tj.

$$[X_i,X_j] = \sum_k c^k_{i j} X_k$$

Kako su u svakoj točki $g\in G$ vektori $(X_i)_g$ baza vektorskog prostora $T_g G$, to $X_i$ čine bazu prostora vektorskih polja kao slobodnog modula nad $C^\infty(G)$ i time je dualno prostor 1-formi $\Omega^1(G)$ razapet nad $C^\infty(M)$ formama $\omega^i$ koje su definirane Kroneckerovom evaluacijom na poljima $X_i$

$$\omega^i (X_j) = \delta^i_j$$

Fakt. Za bilo koju $p$-formu vrijedi

$$(p+1) d\omega (X_1,\ldots,X_{p+1}) = \sum_{i=1}^{p+1} X_i(\omega(X_1,\ldots,\hat{X_i},\ldots X_{p+1}) + \sum_{i\lt j} (-1)^{i+j}\omega([X_i,X_j],X_1,\ldots,\hat{X}_i,\ldots,\hat{X}_j,\ldots,X_{p+1})$$

Kao specijalni slučaj te formule za $p=1$, možemo računati

$$\array{ d\omega^i(X_j,X_k) &=& -\omega^i([X_j,X_k])=-\omega_i(\sum_l c^l_{j k}X_l) = \\ &=& -c^i_{j k} = -\frac{1}{2}(c^i_{j k} - c^i_{k j}) = -\frac{c^i_{j k}}{2}(\omega^j\wedge \omega^k)(X_j,X_k) }$$

This proves the formula

$$d\omega^i = -\frac{1}{2}\sum_{j,k=1}^n c^i_{j k} \omega^j\wedge\omega^k$$

Prop. Ako je $\omega$ bi-invarijantna diferencijalna $p$-forma na Lijevoj grupi $G$, tada njen vanjski diferencijal iščezava $d\omega = 0$.

Dokaz u knjizi S. Helgason, Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces, ch. 1, Lemma 7.1.

Maurer-Cartanove forme

Standardni pristup. Izvori: Postnikov, Helgason. Nakon toga motivacija i iskaz izvornog trećeg Liejevog teorema.

(Under construction)