Zoran Skoda hom11lec11

Ponedjeljak 6.2.2012. 18 sati.

Coursepage hom11connections. Next lecture 12, previous lectures 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.

U ovoj lekciji promatramo koneksije zadane algebarski na diferenciranoj graduiranoj algebri (dga). Dga je monoid u monoidalnoj kategoriji nenegativnih kolančanih komplekasa. Sjetimo se da je de Rhamov kompleks osnovni primjer dga: množenje je vanjsko množenje $\wedge$ diferencijalnih formi. U kontekstu dga uvodimo pojam Koszulove koneksije koji poopćuje kovarijantni diferencijal na de Rhamovom kompleksu tenzoriranom s prostorom glatkih prereza vektorskog ili glavnog svežnja. U slučaju plosnatih koneksija, postoji veza s komodulima nad koprstenovima koja je opisana u članku

• Tomasz Brzeziński, Flat connections and (co)modules, math/0608170

Tamo je opisan i Roiterov teorem o 1-1 korespodenciji među koprstenovima s grupolikim elementom (coring $\mathcal{C}$ with a group-like element $g$) i polu-slobodnih (semi-free) diferencijalnih graduiranih algebri, tj. dga koje postaju tenzorska algebra kad zaboravimo diferencijal. Ta korespodencija se može proširiti na korespodenciju između koneksija u kontekstu modula s diferencijalnim računom koji dolazi od dga i komodula nad odgovarajućim koprstenom.

Koneksije u kontekstu dga (Koszul connection)

Ako je $N$ lijevi $A$-modul i $\Omega^\bullet A$ diferencijalna graduirana algebra nad $A$, tada je koneksija $\nabla$ u $N$ $k$-linearno preslikavanje

$$\nabla:\Omega^\bullet A\otimes_A N\to \Omega^{\bullet+1}A\otimes_A N$$

takvo da je $\nabla(\omega\otimes\omega') = d(\omega)\otimes\omega' + (-1)^{deg \omega} \omega\otimes\nabla(\omega')$.

U slučaju vanjske algebre $\Lambda^\bullet X$ na glatkoj mnogostrukosti $X$, i glatkog svežnja $E$ nad $X$, $N = \Gamma (\Lambda^\bullet X\otimes E) = C^\infty(E)\otimes_{C^\infty(X)} \Omega^\bullet X$.

Slično se definira koneksija na desnim modulima

$$\nabla:M\otimes_A\Omega^\bullet A\to M\otimes_A \Omega^{\bullet+1}A,$$

which satisfies $\nabla(\omega\otimes\omega') = \nabla(\omega)\otimes\omega' + (-1)^{deg \omega} \omega\otimes d(\omega')$.

Zakrivljenost koneksije $\nabla$ na lijevom je lijevom $A$-modulu $M$ je $A$-linearno preslikavanje $F_\nabla = \nabla\otimes\nabla|_N : N\to \Omega^2 A\otimes_A N$.

Teorem. Neka je …