Zoran Skoda
hom11lec11

Koneksije u kontekstu dga (Koszul connection)

Ponedjeljak 6.2.2012. 18 sati.

Coursepage hom11connections. Next lecture 12, previous lectures 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.

U ovoj lekciji promatramo koneksije zadane algebarski na diferenciranoj graduiranoj algebri (dga). Dga je monoid u monoidalnoj kategoriji nenegativnih kolančanih komplekasa. Sjetimo se da je de Rhamov kompleks osnovni primjer dga: množenje je vanjsko množenje \wedge diferencijalnih formi. U kontekstu dga uvodimo pojam Koszulove koneksije koji poopćuje kovarijantni diferencijal na de Rhamovom kompleksu tenzoriranom s prostorom glatkih prereza vektorskog ili glavnog svežnja. U slučaju plosnatih koneksija, postoji veza s komodulima nad koprstenovima koja je opisana u članku

Tamo je opisan i Roiterov teorem o 1-1 korespodenciji među koprstenovima s grupolikim elementom (coring 𝒞\mathcal{C} with a group-like element gg) i polu-slobodnih (semi-free) diferencijalnih graduiranih algebri, tj. dga koje postaju tenzorska algebra kad zaboravimo diferencijal. Ta korespodencija se može proširiti na korespodenciju između koneksija u kontekstu modula s diferencijalnim računom koji dolazi od dga i komodula nad odgovarajućim koprstenom.

Koneksije u kontekstu dga (Koszul connection)

Ako je NN lijevi AA-modul i Ω A\Omega^\bullet A diferencijalna graduirana algebra nad AA, tada je koneksija \nabla u NN kk-linearno preslikavanje

:Ω A ANΩ +1A AN\nabla:\Omega^\bullet A\otimes_A N\to \Omega^{\bullet+1}A\otimes_A N

takvo da je (ωω)=d(ω)ω+(1) degωω(ω)\nabla(\omega\otimes\omega') = d(\omega)\otimes\omega' + (-1)^{deg \omega} \omega\otimes\nabla(\omega').

U slučaju vanjske algebre Λ X\Lambda^\bullet X na glatkoj mnogostrukosti XX, i glatkog svežnja EE nad XX, N=Γ(Λ XE)=C (E) C (X)Ω XN = \Gamma (\Lambda^\bullet X\otimes E) = C^\infty(E)\otimes_{C^\infty(X)} \Omega^\bullet X.

Slično se definira koneksija na desnim modulima

:M AΩ AM AΩ +1A,\nabla:M\otimes_A\Omega^\bullet A\to M\otimes_A \Omega^{\bullet+1}A,

which satisfies (ωω)=(ω)ω+(1) degωωd(ω)\nabla(\omega\otimes\omega') = \nabla(\omega)\otimes\omega' + (-1)^{deg \omega} \omega\otimes d(\omega').

Zakrivljenost koneksije \nabla na lijevom je lijevom AA-modulu MM je AA-linearno preslikavanje F =| N:NΩ 2A ANF_\nabla = \nabla\otimes\nabla|_N : N\to \Omega^2 A\otimes_A N.

Teorem. Neka je …

Last revised on April 14, 2012 at 15:25:13. See the history of this page for a list of all contributions to it.