Zoran Skoda hom11lec12

Srijeda 8.2.2012. u 16 sati točno.

Coursepage hom11connections. Next lecture 13, previous lectures 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11.

U prošlom predavanju (11, bavili smo se pojmom koneksije na modulom $N$ nad algebrom $A$ koja je opremljena diferencijalnim računom $\Omega^\bullet A$, koji je diferencijalna graduirana algebra i $A = \Omega^0 A$. Time se generalizira naš raniji primjer: kovarijantno diferenciranje na $\Gamma \xi \otimes \Omega^*(X)$ gdje je glatka $X$ mnogostrukost, $\xi$ svežanj nad $X$, $A = C^\infty(X)$ i $(\Omega^*(X),d)$ je de Rhamov kompleks. Sjećamo se naime da je kovarijantno diferenciranje $\nabla: \Gamma \xi \otimes \Omega^*(X)\to \Gamma \xi \otimes \Omega^{*+1}(X)$ jedan od ekvivalentnih načina zadavanja koneksija. U prošla dva predavanja sam skicirao pojmove komonade i koprstena te komodula nad njima, te vezu s problemom silaska. Podaci plosnate koneksije se mogu prikazati u terminima komodula nad koprstenom s grupolikim elementom.

U današnjem predavanju skiciramo situaciju u kojoj je Grothendieck otkrio vezu podataka silaska i plosnatih koneksija. Koneksija se u tome intuitivno razmatra kao infinitezimalni slučaj paralelnog transporta. To se može napraviti u sintetičkoj diferencijalnoj geometriji, a i u jeziku algebarske geometrije.

Na predavanju sam dao vrlo brzu skicu jezika algebarske geometrije, gdje sam se restringirao uglavnom na afini slučaj. Tada sam definirao pojam kvazikoherentnog snopa $\mathbf{O}_X$-modula nad shemom $X$. Detaljan uvod je npr. u knjizi od Amnona Neemana, Analytic and algebraic geometry, no ono što sam rekao na predavanjima bit će kasnije ovdje reproducirano i dovoljno je za ostatak lekcije.

Nakn toga sam definirao pojam infinitezimalno bliskih generaliziranih točaka algebarske sheme i pojam kristala kvazikoherentnih snopova. Taj materijal je sadržaj prve dvije stranice u predavanju

• Jacob Lurie, Notes on crystals and D-modules, pdf predavanje u Gaistgoryjevom seminaru za postdiplomce

te paragraf 2 “The Grothendieck perspective” u B. Osserman, Connections, curvature and $p$-curvature, pdf

Nakon toga sam krenuo dalje u istom smjeru, skicirajući Grothendieckov pristup diferencijalnom računu, s početka paragrafa 2 u knjizi Berthelot-Ogus, Notes on crystalline cohomology. Paragraf 2 je ovdje u djvu formatu. Šira literatura je u crystal.