Zoran Skoda usmeni-mat1-primjeri

Ovdje je samo mali izbor od mnogo većeg broja mogućih pitanja da se dobije osjećaj kako se bolje pripremati. Izmislite slična pitanja na osnovu drugog gradiva iz istih celina kao data pitanja. Svakako počnite od osnovnih pojmova, usmeni-osnovnih-deset-pojmova. Uvijek si postavljajte pitanja i učite polako sa samoispitivanjem. Čitanje tekstova bez međudjelovanja s tekstom, refleksije, bilježenja, traženja prijera, uspoređivanja s durgo literaturom, uspoređivanja vaših zapisa s predavanja i materijala na stranicama kolegija, testiranja primjera u odnosu na definiciju. Ako je nešto primjer treba vidjeti zašto su svi dijelovi definicije zadovoljeni. Ako nešto nije u čemu je nedostatak kandidata za primjer.

Kakva je razlika između razlike skupova i simetrične razlike skupova ?

Objasni Aristotelov pojam definicije (preko pojma višeg reda i specifične razlike). Što su to ekstenzivne definicije. Primjeri.

Što je to sud ? Što je to složeni sud. Kakva je razlika između suda i općenitog predikata ?

Kako definiramo pokratu $\neq$ u logici predikata s jednakošću ?

Objasni zahtjev invarijantnosti na supstituciju u logici predikata s jednakošću.

Kako definiramo poktratu $\notin$ u jeziku teorije skupova.

Što je to aksiomatska teorija u jeziku predikata s jednakošću ? Koja svojstva ima jednakost u takvoj teoriji ? Kakva je razlika između sintakse i semantike. Daj i primjer. Kad za teoriju kažemo da je potpuna ?

Što je to logičko zaključivanje? Nabroji bar tri pravila zaključivanja u logici sudova.

Što je to pretpostavka, a što je zaključak u logičkom zaključivanju ? Kad je zaključak valjan ?

Što je to proturječje ? Kad kažemo da je teorija konzistentna ? Što je to aksiom ? Koja je hrvatska inačica (sa slavenskim korijenom) za riječ predikat.

Objasni što je to dokaz u nekom aksiomatskom sustavu, sa stanovišta osnova logike i zaključivanja.

Objasni Russelov paradoks.

Što je to kardinalni broj ? Kako određujemo zbroj kardialnih brojeva ? Kad kažemo da je skup beskonačan ? Kad kažemo da je kardinalni broj beskonačan ? Kako zovemo najmanji kardinalni broj ? Kakva je razlika između para i uređenog para ?

Koja je oznaka za univerzalni kvantifikator ? Što znači da je varijabla u formuli u jeziku predikata vezana ? Što je to predikatni simbol ?

Što je to implikacija (odgovor: složeni sud sastavljen uz pomoć dva jednostavna suda i koji je istina uvijek osim kad je prvi sud, a drugi laž). Objasni i na primjeru. Koja je oznaka za implikaciju ?

Što je to teorem ? Kakva je razlika između teorema, propozicije, leme i korolara.

Što je to tautologija ? Objasni primjer zaključivanja prema pravilu modus ponens. Modus tolens ? Što je to zakon tertium non datur ? Koja je korist od njega; primjer ? Što je to dokazivanje od suprotnog ?

Koji je nužan i dovoljan uvjet da funkcija ima inverz ? Kako definiramo inverz funkcije iz skupa $A$ u skup $B$ ? Kako od funkcije dobivamo funkcijsku relaciju ? Što je to funkcijska relacija ?

Što je to relacija na ? Kada kažemo da je funkcija injekcija ?

Kako uvodimo pojam skupa ? Koja su osnovna svojstva skupova ? Kada su dva skupa jednaka ?

Što su to razredi ekvivalencije (vidi relacija ekvivalencije i mat1-171120-1) ? Što je particija skupa ? Kada kažemo da su dva skupa međusobno disjunktna ?

Razlikuju li se skupovi $\{1,2,3\}$ i $\{1,1,2,3\}$ ili ne ? Razlikuju li se skupovi $\{\emptyset\}$ i $\emptyset$ ili ne ? Objasni.

Koliko elemenata ima Kartezijev produkt skupa od 6 elemenata sa samim sobom ?

Na koliko načina možemo poredati 5 ljudi u kolonu ?

Na koliko načina možemo izabrati 3 čovjeka od 5 ljudi ?

Kako rekurzivno definiramo funkciju faktorijela ? Koja je njena domena ? Kakve su oznake ? Izračunaj šest faktorijela.

Što je to eksponent ? Što je baza potencije ? Kako definiramo potenciju kojoj je baza ma koji pozitivni realni broj, a eksponent racionalan broj (moguće i negativan). Kako potenciramo potenciju ? (tako da bazu prepišemo, a eksponente pomnožimo)

Kako potenciramo realni broj na cijeli broj koji nije nužno pozitivan ?

Objasni dva različita načina kako se uvode cijeli brojevi. Kako definiramo umnožak dva cijela broja ? Zašto ne smijemo dijeliti s nulom ?

Postoji kanonska bijekcija sa skupa strogih uređaja na skupu $S$ na skup nestrogih uređaja na tom skupu. Opiši tu bijekciju i njen inverz općenito. Izreci primjer strogog uređaja i njemu pripadnog nestrogog uređaja.

Što je razlika dva prirodna broja ? Kako zovemo slučaj kad ona postoji kao prirodan broj.

(Razlika dva prirodna broja je broj koji treba pribrojiti drugom da bi se dobio prvi ako takav broj postoji. Tada kažemo da je prvi broj veći od drugog broja. To definira uređaj (relaciju biti veći) na skupu prirodnih brojeva.)

Kad je prirodni broj djeljiv s 3 (kad je zbroj znamenaka djeljiv s 3).

Izreci matematičke indukcije. Što je to rekurzija ? Kako rekurzivno definiramo zbrajanje prirodnih brojeva ako znao brojiti ? Kako rekurzivno definiramo množenje prirodnih brojeva ako znamo zbrajati ? Što je to Kartezijev produkt skupova ?

Kakva je razlika između razlomka i racionalnog broja ? Kad kažemo da je broj iracionalan. Kako je Pitagora pokazao da je $\sqrt{2}$ iracionalan broj ? Što to znači kad kažemo da je skup racionalnih brojeva gust u samom sebi ? Izrezi Arhimedov aksiom/svojstvo skupa realnih brojeva ?

Što je to jednadžba ? Što je to jednakost ? Što je to nejednadžba ?

Što je to niz elemenata skupa $S$ ?

Koliko je $3^4$ ? $3^0$ ? $4^{-1}$ ? $9^{1/2}$, $(1/2)^9$ ? Je li veće $(3^4)^5$ ili $3^{4^5}$ ?

Opiši Euklidov algoritam. Za što služi ?

Izreci Peanove aksiome za skup prirodnih brojeva.

Izreci teorem o dijeljenju prirodnih brojeva s ostatkom.

Što je to omjer, što je to udio i što je to razmjer ? Što je to produljeni razmjer ?

Podijeli kompleksne brojeve $\frac{2+i}{2-i}$ tako da je rezultat zapisan kao kompleksan broj, tj. u obliku $a+b i$ gdje su $a$ i $b$ realni brojevi.

Što je to djelomično dijeljenje ? Po čemu se općenito djelomično dijeljenje razlikuje od dijeljenja s ostatkom ? Koja je korist od takvog dijeljenja u praksi učenika u osnovnoj školi ? Treba li poticati učenike na djelomično dijeljenje u nekim situacijama i ako da, kojim ?

Zašto uvodimo kompleksne brojeve ?

Što je to apsolutna vrijednost kompleksnog broja. Ako je $2+3i$ kompleksni broj koji su mu realni i imaginarnin dio i što je njemu konjugirani kompleksni broj ? Postoji li kompleksni broj koji se razlikuje od njemu konjugiranog ? Koliko ima takvih brojeva ?

Objasni pravilo za zbrajanje razlomaka i objasni ga od kuda je došlo ? Što je to skraćivanje razlomaka ? Kako izražavamo dvostruki razlomak preko običnog razlomka ? Što je to vrijednost razlomka kao racionalni broj ? Mogu li dva različita razlomka imati istu vrijednost kao racionalni broj ? Daj primjer ?

Objasni kako se rješava prvi zadatak koji nisi dobro riješio na pismenom.

Kakva je razlika između broja, brojke i znamenke ? Što su to mjesni brojevni sustavi ? Koje su znamenke u heksadecimalnom brojevnom sustavu ?

Objasni svojstvo asocijativnosti množenja prirodnih brojeva.

Kad kažemo da je neki prirodni (ili cijeli) broj $m$ djeljiv prirodnim brojem $n$ ? Koja je oznaka za tu situaciju ? Kad kažemo da su dva prirodna broja relativno prosta ?

Kako definiramo slaganje (kompoziciju) funkcija ? Kad je ona definirana (za koje parove funkcija) ? Koja je oznaka za kompoziciju funkcija ?

Što to znači da je neka funkcija dobro definirana ?

Napiši u jeziku predikata s jednakošću što po definiciji označava kratica $(\exists! x) (P(x))$ ako je $P$ predikat s jednim argumentom.

Objasni na dva jako slična primjera kako razlikovanje objekata utiče na njihovo prebrojavanje (npr. razlika između broja poredaka 5 različitih špekula u nizu i broja poredaka od 5 kuglica od kojih su dvije bijele i tri crne i međusobno kuglice iste boje ne razlikujemo).

Što je to permutacija ?

Što je to relacija ? Kakva je razlika između binarne i ternarne relacije ? Koja su definicijska svojstva relacije strogog uređaja ? Kad za strogi uređaj kažemo da je linearan ili totalan ? Klasa svih kardinalnih brojeva je uređena (posljedica Cantor-Bernsteinovog teorem), objasni.

Što je niz racionalnih brojeva. Što je to $n$-ti član niza racionalnih brojeva ?

Definiraj uniju familije skupova. Što je to komplement skupa ?

Objasni frazu negacija negacije je afirmacija.

Kakva je razlika između uključivog ili i isključivog ili u jeziku. Koji od njih odgovara disjunkciji u logici.

Pojam kardinalnog broja $3$, što on označava ?

Što je to ordinalni broj ?

Koliko elemenata ima partitivni skup skupa čiji kardinalni broj je $5$ ? Kakve veze ima pitanje kardinalnosti partitivnog skupa s pojmom karakteristične funkcije podskupa ?

Izreci Cantorov teorem iz teorije skupova (partitivni skup skupa $A$ ima veći kardinalitet od samog skupa $A$, dokazuje se dijagonalnim argumentom).

Zašto je potrebna aksiomatska teorija skupova. Što je to prazan skup ? Koji je simbol praznog skupa ? Postoji li skup $A$ takav da $\neg(\emptyset\subset A$.

Kad kažemo da je podskup pravi ?

Kako određujemo restrikciju neke funkcije $f:A\to B$ na podskup $S\subset A$ ? Koja je oznaka za restrikciju ? Što je to slika funkcije $g:C\to D$ ? Ako je $T\subset D$ što je onda praslika od $T$ po $g$. Koja je oznaka za tu prasliku u rečenim terminima ?

Definiraj funkciju identitete na skupu $B$. Koja je njena kodomena ?

Ako je $T$ podskup od $B$ koji je različit od $B$, je li restrikcija identitete na $B$ na podskup $T$ identiteta u strogom smislu te riječi ? Kako zovemo funkcije koje nastaju na taj način (inkluzije!).

Što je to funkcija ? Kakav je odnos funkcija i relacija ? Objasni nekoliko načina zadavanja funkcija (tablicom, formulom, karakterstičnim svojstvom itd.).

Što je to karakterizacija pojma u nekoj formalnoj teoriji ili u matematici općenito ? Kakva je razlika između definicije i karakterizacije ?

Objasni kako uvodimo pojam decimalnog broja. Koji decimalni brojevi se mogu napisati kao racionalni brojevi ? Kad kažemo da je decimalni broj beskonačan periodičan ?

Što je to zajednički nazivnik dva razlomka ? Objasni skraćivanje razlomaka. Objasni skraćivanje dvostrukih razlomaka.

Objasni sintaktičku hijerarhiju operacija i pravila za zagrade, kako u aritmetici tako i u opracijama za skupove ? Kako tim pravilima smanjujemo potreban broj zagrada ? Kako evaluiramo izraze u matematici (iznutra prema van u smislenim grupama, nivo po nivo induktivno, poštujući zagrade, objasni) ?

Napiši “skup svih $s$ iz $A$ takvih da vrijedi $P(s)$, a ne vrijedi $R(s,s)$”, gdje je $A$ skup, a $P$ su unarni i binarni relacijski simboli.

Napiši definiciju unije (također presjeka, razlike, simetrične razlike) skupova $A$ i $B$ u terminima samo logičkih simbola, varijabli i kvantifikatora, znaka jednakosti i jednostavnijih oznaka iz jezika skupova, $\{,\},|,\in$.

Objasni argument kojim dokazujemo da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva.

Kad kažemo da je neki cijeli broj paran ? Pokaži da su skup cijelih brojeva i skup prirodnih brojeva ekvipotentni. Pokaži da su skup prirodnih brojeva i skup parnih prirodnih brojeva također ekvipotentni. Što je to Hilbertov hotel ? Što je to aksiom izbora ?

Objasni neki primjer relacije uređaja u svakodnevnom životu. Koja su svojstva na koje binarne relacije da bi je mogli zvati relacijom ekvivalencije ?

Ako je $S$ skup i $\sim$ neka relacija ekvivalencije na skupu $S$. Objasni zašto je ta relacija jednaka relaciji “biti u istom razredu ekvivalencije po $\sim$”). Kako zovemo skup klasa ekvivalencije $S/\sim$ ?

Izreci neki primjer binarne relacije na skupu $S = \{a,b,c,d\}$ koja je tranzitivna, a nije relacija uređaja (ni strogog ni nestrogog). Primjer relacije koja je simetrična, a nije tranzitivna ? Primjer relacije koja je refleksivna i tranzitivna, a nije simetrična ?

Objasni simbol sume i raspiši $\sum_{j = 1}^5 2^j$ bez znaka sumacije i izračunaj rezultat.

Raspiši simbol unije familije $\cup_{S\in\mathcal{A}}S$ i raspiši rezultat ako je $\mathcal{A} = \{\{2,3\},\{2\},\{\{3\},4,\{4\},5\}\}$. Koliko elemenata ima rezultat ?

(Rješenje: familija skupova $\mathcal{A}$ ima tri elementa-skupa, to su $S_1 = \{2,3\}$, $S_2 = \{2\}$ i $S_3 = \{\{3\},4,\{4\},5\}$.

$$\cup_{S\in\mathcal{A}}S = \{2,3\}\cup \{2\} \cup \{\{3\},4,\{4\},5\} = \{2,3,\{3\},4,\{4\},5\}$$

i $S$ ima točno 5 elemenata.)

Koliko elemenata ima skup $B\times\{B\}$ ako $B$ ima 3 elementa ? Koliko u tom slučaju elemenata ima skup $B\times\emptyset$.

Ako su $B$ i $C$ dva različita neprazna skupa, jesu li Kartezijevi produkti $B\times C$ i $C\times B$ jednaki kako skupovi ? Daj primjer. Postoji li izuzetak ?

Koliko je $i^{26}$ ako je $i$ imaginarna jedinica. Kako definiramo imaginarni dio kompleksnog broja. Objasni definiciju kompleksnih brojeva preko parova realnih brojeva.

Objasni što je to polje. Koji od skupova, $\mathbf{N},\mathbf{Z},\mathbf{Q},\mathbf{R},\mathbf{C}$ su polja ? Kad kažemo da je neko polje uređeno ? Koja od polja koja ste nabrojili su prirodno uređena ?

Što je to kvadratni korijen nenegativnog realnog broja ?

Kako definiramo prirodni uređaj na skupu prirodnih brojeva ? Kako definiramo prirodni uređaj na skupu cijelih brojeva ako znamo prirodni uređaj na skupu prirodnih brojeva ? Kako definiramo prirodni uređaj na skupu racionalnih brojeva ako znamo prirodni uređaj na skupu cijelih brojeva ?

Što je to apsolutna vrijednost cijelog broja ?

Postoji li najveći kardinalni broj ? Postoji li najmanji kardinalni broj ? Zašto, koji je argument ? Kako se zove najmanji kardinalni broj ? Kako znamo da je najmanji ? Kako zovemo skupove koji imaju kardinalnost jednaku najmanjem beskonačnom kardinalnom broju ?

Koje od osnovnih binarnih skupovnih operacija koje smo radili ($\cup,\cap,\backslash,\Delta,\times$) su komutativne ? Za svaku koja je ili koja nije objasni zašto je ili zašto nije.

Kakva je razlika unije skupova i disjunktne unije skupova ? Objasni zašto je pojam disjunktne unije bitan za definiciju zbrajanja kardinalnih brojeva ?

Objasni pojmove i oznake otvorenog, zatvorenog i poluotvorenog intervala skupa realnih brojeva. U kojim slučajevima s obzirom na položaj granica intervala je unija dva otvorena intervala ponovo otvoren interval, kad je prazan skup, a kad je neka treća mogućnost i kako opisujemo tu treću mogućnost ?

Što je to suprotni element s obzirom na zbrajanje ? Što je to neutralni element s obzirom na binarnu algebarsku operaciju ? Što je to inverzni element s obzirom na binarnu operaciju koja ima neutralni element? Objasni distributivnost množenja prema zbrajanju slijeva i zdesna.

Napiši omjer racionalnih brojeva 234.4135:0.0210009 kao razlomak kojem su brojnik i nazivnik cijeli brojevi. Od ispitanika se očekuje i da vladaju školskom aritmetikom (uključujući pisano dijeljenje i tablicu množenja) i značenje terminologije kvadrat, kub, kvadratni korijen, kubni korijen te rješavanje jedne linearne (ne)jednadžbe s jednom nepoznanicom

Kad za niz racionalnih brojeva kažemo da je Cauchyjev niz (vidi realni broj)? Kad su dva Cauchyjeva niza ekvivalentna ?

Objasni pojmove minimuma, maksimuma, infimuma, supremuma, maksimalnog elementa i minimalnog elementa podskupa $S$ uređenog skupa $(A,\lt)$.

Ima li poluotvoreni interval $(2,4]$ minimalni element ? Ima li maksimalni element ? Ima li supremum ? Ima li infimum ? Kad je maksimalni element ujedno maksimum ? (Maksimum, ako postoji, je uvijek jedan od maksimalnih elemenata podskupa).

category: zadarmat1