Zoran Skoda zadarmat2 test1

Ovo su bile upute u akademskoj godini 2015-2016. Za prvi test u 2016-2017 upute su na početku stranice zadarmat2.

Što treba znati za prvi mali test. Vidi i linkove funkcija, uređaj, relacija ekvivalencije, aksiomi planimetrije, zadarmat2 principi aksiomatike, krug, kut, sukladnost, homotetija, sličnost, inverzija, konstrukcija tangente, srednjica.

Aksiomi stereometrije ne ulaze u test. Podrazumijeva se da znate konvencije koje koristimo.

Baratati osnovnim pojmovima o funkcijama i relacijama, uključujući injekcija, surjekcija, bijekcija, domena funkcije, kodomena funkcije, kompozicija fukcija, Kartezijev produkt, relacija na skupu, uređaja, relacija ekvivalencije.

Pojam aksiomatskog sustava, zahtjevi neproturječnosti, nezavisnosti i potpunosti. Prepoznati razliku između aksioma i teorema, te vrste teorema (teorem, lema (pomoćna trvdnja), propozicija, korolar (posljedica)).

Svi aksiomi planimetrije. 5 grupa aksioma: incidencije, uređaja, udaljenosti, simetrije i aksiom o paralelama.

Definicije/objasniti ove pojmove iz geometrije

• točka, pravac, ravnina (primitivni pojmovi, ne definiraju se, no imaju međusobne odnose pripadnosti/incidentnosti, ležati na pravcu, presjek pravaca kao točka koja je incidentna s oba pravca itd.)
• kolinearne i nekolinearne točke
• paralelni pravci
• orijentacija na pravcu, polupravac, vrh polupravca
• dužina, konveksan skup, konveksna ljuska, trokut, Paschov aksiom
• ležati s iste strane ravnine, pojam poluravnine
• polovište dužine
• kut, mjerenje kuta, kongruentnost kuteva, kutni isječak, zbrajanje kuteva, dijeljenje kuta na dva dijela
• šiljasti kut, tupi kut, izbočeni kut, ispruženi kut, nul-kut, puni kut
• radijani i stupnjevi
• transverzala dva pravca
• trokut: definicija, stranice trokuta, visine, težišnice, simetrale kuteva, simetrale stranica, njihova sjecišta kao četiri karakteristične točke trokuta
• mnogokut (jednostavni poligon), poligonalna crta, konveksni i nekonveksni poligoni, dijagonala mnogokuta, stranica mnogokuta
• pojam površine kao aditivne funkcije na skupu poligona (i nešto šire)
• kružnica, krug, tetiva, sekanta, tangenta, konstrukcija tangente, koncentrične kružnice, kružni isječak, kružni odsječak, kružni luk, središnji kut nad tetivom, obodni kut nad lukom, dva luka nad istom tetivom
• vrste četverokuta: paralelogram, trapez, romb, pravokutnik, kvadrat
• srednjica trapeza, srednjica trokuta
• vrste trokuta: jednakostranični, jednakokračni, pravokutni, šiljastokutni, tupokutni
• stranice pravokutnog trokuta: katete i hipotenuza
• vanjski i (u)nutarnji kutevi trokuta i njihove simetrale
• pojam visine kao pravca okomitog na stranicu i duljine visine kao duljine dijela visine od vrha do presjeka s pravcem na kojem leži nasuprotna stranica
• opisana, upisana i tri pripisane kružnice trokutu
• tetivni četverokut, tangencijalni četverokut
• homotetija i sličnost, paralelna projekcija
• koje karakteristične točke trokuta mogu biti van trokuta, a koje ne

Izometrija i njihove vrste, međusobni odnosi i svojstva (osna simetrija, centralna simetrija, rotacija, translacija). Kad je preslikavanje involucija. Koje izometrije su involucije. Okomiti pravci. Nožište okomice. Okomitost kao simetrična relacija. Simetrala dužine. Simetrala kuta. Udaljenost točke do pravca.

Teoremi

Pogledajte najprije bilješke s predavanja.

Biti s iste strane pravca kao relacija ekvivalencije (klase ekvivalencije su otvorne poluravnine).

Nasuprot većoj stranici trokuta veći kut. Dva su kuta trokuta jednaka akko su im nasuprotne stranice jednake.

Izometrije šalju pravce u pravce, polupravce u polupravce itd. Za svaka dva trokuta postoji jedinstvena izometrija koja šalje jedan na drugi.

Svaka osna simetrija je involucija. Skup čvrstih točaka osne simetrije $s_p$ je $p$

Osnovni teorem o izometrijama (svaka je kompozicija najviše tri osne simetrije)

Korolar da je svaka izometrija bijekcija. Objasniti lagani dio zašto je svaka izometrija injekcija.

Četiri teorema o sukladnosti trokuta. Četiri osnovne konstrukcije trokuta (objasniti i skicirati). Teoremi o sličnosti trokuta. Sličnost kao kompozicija homotetije i izometrije. Prava i zrcalna sličnost. Talesov teorem o proporcionalnosti kod paralelne projekcije. Sjecište simetrala stranica kao centar opisane kružnice, sjecište simetrala unutarnjih kuteva trokuta kao centar upisane kružnice, sjecište simetrala dviju vanjskih i jednog unutarnjeg kuta kao centar pripisane kružnice stranici nasuprotnoj unutarnjem kutu

Pitagorin teorem i obrat Pitagorina teorema.

Teorem o središnjem i obodnom kutu.

Svaka dva obodna kuta nad istim lukom kružnice su jednaka.

Talesov teorem o obodnom kutu nad promjerom kružnice.

Zbroj kuteva u trokutu, Veza između vanjskih i nutarnjih kuteva. Zbroj kuteva u $n$-terokutu. Veza između kuteva kad imaju paralelne krakove (sukladni, suplementni ili eksplementni) i kad imaju okomite krakove (komplementarni). Broj dijagonala konveksnog n-terokuta.

Računanje površine trokuta, paralelograma, kvadrata, kružnice, kružnog isječka, polumjera upisane kružnice, Heronova formula za površinu trokuta preko stranica

Razne mogućnosti presjeka dva pravca, dvije kružnice, pravca i kružnice (i uvjeti za razne slučajeve).

Uvjet na stranice da bi četverokut bio tangencijalni. Uvjet na kuteve da bi četverokut bio tetivni. U oba slučaja skicirati sliku koja se koristi u dokazu.