Zoran Skoda
hom11lec17

Ponedjeljak 27. 2. 2012. u 18 sati. Coursepage hom11connections. Next lecture 18, previous lectures 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 13,14; zadaci.

Glavni cilj ove lekcije je dobivanje simplicijalnih objekata od komonada, odnosno kosimplicijalnih objekata od monada. To smo napravili u velikoj op?enitosti, u 2-kategorijama, koje smo uveli kao specijalni slu?aj oboga?enih kategorija.

Oboga?ene kategorije

Sjetimo se koncepta monoidalne kategorije V˜=(V,,1,a,l,r)\tilde{V} = (V,\otimes,\mathbf{1},a,l,r) kao kategorije s nekim tenzorskim produktom \otimes na morfizmima i objektima, koji ?ini funktor u svakoj varijabli, s jedini?nim objektom 1\mathbf{1} i svojstvom asocijativnosti do na zadane koherentne izomorfizme a,l,ra,l,r, koji su prirodni u svakoj varijabli. Kao primjer možemo uzeti kategoriju vektorskih prostora nad poljem kk, gdje je 1=k\mathbf{1} = k jedini?ni objekt, a tenzorski produkt je obi?ni tenzorski produkt vektorskih prostora.

Neka je monoidalna kategorija V˜\tilde{V} fiksirana. V˜\tilde{V}-oboga?ena kategorija (engl. VV-enriched category) CC se sastoji od slijede?ih podataka:

  • klase objekata ObCOb C
  • za svaka dva objekta a,bObCa,b\in Ob C, zadan je objekt C(a,b)ObVC(a,b)\in Ob V
  • za svaka tri objekta a,b,cObCa,b,c\in Ob C, zadan je morfizam kompozicije
    =m a,b,c:C(b,c)C(a,b)C(a,c) \circ = m_{a,b,c}: C(b,c)\otimes C(a,b)\to C(a,c)

    koji živi u MorVMor V

  • za svaki objekt aObCa\in Ob C zadan je jedini?ni element j a:1C(a,a)j_a:\mathbf{1}\to C(a,a) (koji je zadan izborom morfizma u VV)

Pri tome se traži da je kompozicija asocijativna, tj. da za svaka 4 objekta a,b,c,dObCa,b,c,d\in Ob C dijagram

(C(c,d)C(b,c))C(a,b) a C(a,b),C(b,c),C(c,d) C(c,d)(C(b,c)C(a,b)) m b,c,dId Idm a,b,c C(b,d)C(a,b) C(c,d)C(a,c) C(a,d) \array{ (C(c,d)\otimes C(b,c))\otimes C(a,b) &&\stackrel{a_{C(a,b),C(b,c),C(c,d)}}\rightarrow&& C(c,d)\otimes (C(b,c)\otimes C(a,b))\\ m_{b,c,d}\otimes Id\downarrow &&&& \downarrow Id\otimes m_{a,b,c} \\ C(b,d)\otimes C(a,b) &&&& C(c,d)\otimes C(a,c)\\ &\searrow&&\swarrow&\\ &&C(a,d)&& }

komutira. Traži se i da za svaka dva objekta a,bObCa,b\in Ob C, jedini?ni elementi j a,j bj_a,j_b ?ine dijagram

1C(a,b) C(a,b)1 j bId Idj a C(b,b)C(a,b) m a,b,b C(a,b) m a,a,b C(a,b)C(a,a)\array{ \mathbf{1}\otimes C(a,b)&&&& C(a,b)\otimes 1 \\ j_b\otimes Id \downarrow &\searrow&&\swarrow&\downarrow \Id\otimes j_a \\ C(b,b)\otimes C(a,b)&\stackrel{m_{a,b,b}}\rightarrow&C(a,b)&\stackrel{m_{a,a,b}}\leftarrow & C(a,b)\otimes C(a,a) }

komutativnim. Pri tome su kose strelice jedini?ne koherencije u V˜\tilde{V}.

Kad je kontekst jasan, umjesto V˜\tilde{V}-oboga?ena kategorija, re?i ?emo jednostavno V˜\tilde{V}-kategorija.

V˜\tilde{V}-oboga?ena kategorija CC je mala ako je ObCOb C skup. Može se definirati pojam V˜\tilde{V}-funktora i V˜\tilde{V}-prirodne transformacije. Male V˜\tilde{V}-kategorije i V˜\tilde{V}-funktori ?ine kategoriju V˜Cat\tilde{V}Cat. Ta kategorija ima kartezijev produkt, tj. V˜Cat\tilde{V}Cat je tako?er monoidalna kategorija.

Primjer: (lokalno male) kategorije kao SetSet-kategorije

Neka je SetSet kategorija skupova i preslikavanja skupova. Kartezijev produkt se može zadati kao (bi)funktor, i SetSet postaje tenzorska kategorija s obzirom na kartezijev produkt, a kao tenzorsku jedinicu možemo odabrati bilo koji jedno?lani skup, npr. {}\{\emptyset\}.

Uvjerite se da je SetSet-oboga?ena kategorija isto što i kategorija u obi?nom smislu (tj. lokalno mala kategorija, tj. objekata može biti klasa, no morfizmi me?u bilo koja dva fiksna objekta ?ine skup).

Klasa primjera: zatvorene monoidalne kategorije

Neformalno re?eno, zatvorene monoidalne kategorije su kategorije oboga?ene nad samim sobom.

Kažemo da je monoidalna kategorija V˜=(V,,1)\tilde{V}=(V,\otimes,\mathbf{1}) zatvorena ako postoji struktura V˜\tilde{V}-oboga?ene kategorije V\mathbf{V} koja ima iste objekte kao V˜\tilde{V}, a za unutarnji hom ℋℴ𝓂(a,b):=V(a,b)\mathcal{Hom}(a,b) := \mathbf{V}(a,b) je unutarnji hom u V\mathbf{V}, tj. za svaka tri objekta postoji bijekcija

Hom V(ab,c)Hom V(a,ℋℴ𝓂(b,c)) Hom_V(a\otimes b,c) \cong Hom_V(a,\mathcal{Hom}(b,c))

prirodna u a,b,ca,b,c. Drugim rije?ima ℋℴ𝓂(b,)\mathcal{Hom}(b,-) je desni adjungirani funktor funktoru b-\otimes b. Zapravo ako u nekoj monoidalnoj kategoriji postoji takav desni adjungirani funktor za svaki bb, tada pravilo V(a,b)=ℋℴ𝓂(a,b)\mathbf{V}(a,b)=\mathcal{Hom}(a,b) odre?uje strukturu V˜\tilde{V}-oboga?ene kategorije. Naime svojstvo adjungiranosti, zajedno s kompozicijom za obi?ne morfizme, omogu?ava kanonsku definiciju kompozicije za unutarnji hom:

Zadatak 8. Dokaži da postoji izomorfizam

ℋℴ𝓂(ab,c)ℋℴ𝓂(a,ℋℴ𝓂(b,c)) \mathcal{Hom}(a\otimes b,c) \cong \mathcal{Hom}(a,\mathcal{Hom}(b,c))

u VV, prirodan u sva tri argumenta (Ideja: koristi Yonedinu lemu i ra?un s 4 objekta)

Primjer. Kategorija kompaktno generiranih Hausdorffovih topoloških prostora je zatvorena monoidalna kategorija s obzirom na kartezijev produkt u toj kategoriji.

Striktne nn-kategorije

CatCat je kategorija ?iji objekti su male kategorije, a morfizmi su funktori. Kartezijev produkt kategorija se može zadati kao bifunktor. Tako CatCat s kartezijevim produktom postaje (nestriktna) monoidalna kategorija u kojoj je tenzorska jedinica 1\mathbf{1} kategorija s jednim objektom i jednim morfizmom. CatCat je zapravo zatvorena kartezijeva monoidalna kategorija, naime za fiksnu domenu i kodomenu, funktori i njihove prirodne transformacije ?ine kategoriju i tražena svojstva vrijede.

Striktna 2-kategorija je naprosto CatCat-oboga?ena kategorija. Induktivno definiramo nn-kategorije kao (n1)Cat(n-1)Cat-oboga?ene kategorije, za svako n1n\geq 1, gdje je (n1)Cat(n-1)Cat kartezijeva monoidalna kategorija malih (n1)(n-1)-kategorija i 0Cat=Set0Cat = Set.

To se da raspisati u detalje, eksplicitno, mada je za nas zna?ajno samo n=1,2n=1,2. Striktna nn-kategorija sastoji se od kk-∞elija za svaki k=0,1,,nk =0,1,\ldots,n. 00-∞elije se nazivaju i objekti, a kk-∞elije za k1k\geq 1 se tako?er zovu i kk-morfizmi. Za svaki k1k\geq 1 i za svaku kk-∞eliju α\alpha definiramo njenu domenu domαdom\alphai kodomenu codαcod\alpha koje su (k1)(k-1)-∞elije, pri ?emu se traži da je domena domene isto što i domena kodomene, te kodomena domene je kodomena kodomene:

domdom=domcod,codcod=coddom dom dom = dom cod,\,\,\,\,\,cod cod = cod dom

Za svaku kk-∞eliju α\alpha, k<nk\lt n, zadana je identiteta (k+1)(k+1)-∞elija 1 α1_\alpha (ili id αid_\alpha), s dom1 α=cod1 α=αdom 1_\alpha = cod 1_\alpha = \alpha. Na dalje, za kk-∞elije, k1k\geq 1, je definirano kk raznih kompozicija k\circ_k. Krajnja, “vertikalna”, kompozicija α kβ\alpha\circ_k\beta definirana je ako je codβ=domαcod \beta = dom \alpha. Op?enito α sβ\alpha\circ_s\beta je definiran ako cod sβ=dom sαcod^s\beta = dom^s\alpha i dom(α sβ)=domβdom(\alpha\circ_s\beta) = dom\beta, cod(α sβ)=cod(α)cod(\alpha\circ_s\beta) = cod(\alpha) kad god su ti izrazi definirani. Kompozicije su usaglašene s identitetama na uobi?ajen na?in.

Me?u tim kompozicijama se traži da vrijedi zakon zamjene (koji generalizira Godementov zakon zamjene). Kad god je jedna strana slijede?eg identiteta definirana, tada je i druga, i vrijedi identitet

(β 2 rβ 1) s(α 2 rα 1)=(β 2 sα 2) r(β 1 sα 1) (\beta_2\circ_r\beta_1)\circ_s(\alpha_2\circ_r\alpha_1) = (\beta_2\circ_s \alpha_2)\circ_r(\beta_1\circ_s\alpha_1)

Striktne 2-kategorije

To je sve malo jednostavnije za n=2n=2. 2-kategorija 𝒜\mathcal{A} se sastoji od

  • klase Ob𝒜Ob \mathcal{A} 0-∞elija ili objekata
  • klase 1-∞elija
  • klase 2-∞elija

Svakoj 1-∞eliji ff pridruženi su objekti domene domfdom f i kodomene codfcod f, i pišemo f:domfcodff:dom f\to cod f. Svakoj 2-∞eliji γ\gamma pridružene su 1-∞elije domγdom\gamma, i codγcod \gamma i vrijedi domdomγ=domcodγdom dom\gamma = dom cod \gamma te coddomγ=codcodγcod dom \gamma = cod cod \gamma. Definirana je kompozicija 1-∞elija gfg\circ f kad god codf=codgcod f = cod g. Vrijedi dom(gf)=domfdom(g\circ f) = dom f i cod(gf)=codgcod (g\circ f) = cod g. Definirane su dvije kompozicije 2-∞elija. Prva kompozicija δγ:(g 1f 1)(g 2f 2)\delta\star\gamma : (g_1\circ f_1)\Rightarrow (g_2\circ f_2) je horizontalna i definirana je za dvije ?elije δ:g 1g 2\delta : g_1\Rightarrow g_2 i γ:f 1f 2\gamma:f_1\Rightarrow f_2 takve da je domg 1=domdomδ=codcodγ=codf 2dom g_1 = dom dom \delta = cod cod \gamma = cod f_2. Druga kompozicija je vertikalna, i definirana je za α:f 1f 2\alpha:f_1\Rightarrow f_2, β:F 3f 3\beta:F_3\Rightarrow f_3 kao neki βα:f 1f 3\beta\circ\alpha:f_1\Rightarrow f_3. Obje kompozicije su striktno asocijativne. Vrijedi tako?er Godementov zakon zamjene

(β 2β 1)(α 2α 1)=(β 2α 2)(β 1α 1) (\beta_2\circ\beta_1)\star(\alpha_2\circ\alpha_1) = (\beta_2\star\alpha_2)\circ(\beta_1\star\alpha_1)

kad god su ti izrazi definirani za dva ?elije α 1,α 2,β 1,β 2\alpha_1,\alpha_2,\beta_1, \beta_2. Za svaki objekt aa postuliramo identiteta 1-∞eliju id a=1 a:aaid_a = 1_a:a\to a i za svaku 1-∞eliju f:abf:a\to b postuliramo identita 2-∞eliju; za njih vrijedi da su jedinice u smislu

  • fid a=f=fid bf\circ id_a = f = f\circ id_b za svaku 1-∞eliju f:abf:a\to b
  • βid f=β=id gβ\beta\circ id_f = \beta = id_g \circ \beta za svaku 2-∞eliju β:fg\beta:f\to g

Po konvenciji, ako je γ:g 1g 2\gamma:g_1\to g_2 gdje je domg 1=codfdom g_1 = cod f i codg 1=domhcod g_1 = dom h, s hγg 1h\gamma g_1 ozna?avamo horizontalnu kompoziciju id hβid f:hg 1fhg 2fid_h\star\beta id_f : h\circ g_1\circ f \to h\circ g_2\circ f.

Primjeri 2-kategorija

Primjer. (suspenzije striktnih monoidalnih kategorija) Neka je VV obi?na kategorija sa striktno asocijativnim bifunktorijalnim monoidalnim produktom \otimes sa striktnom jedinicom 1\mathbf{1}, tj. (V,,1)(V,\otimes,\mathbf{1}) je striktna monoidalna kategorija.

Adjunkcije u proizvoljnoj 2-kategoriji

Adjunkcija u 2-kategoriji AA sastoji se od dvije 1-∞elije L:CDL:C\to D i R:DCR:D\to C i dvije 2-∞elije, jedinicu η:1 CRL\eta : 1_C\Rightarrow R L i kojedinicu ϵ:LR1 D\epsilon: L R\Rightarrow 1_D koje zadovoljavaju 2 aksioma, tzv. trokutne identitete: kompozicije

LLηLRLϵRL L \stackrel{L\eta}\Rightarrow L R L \stackrel{\epsilon R}\Rightarrow L
RηRRLRRϵR R\stackrel{\eta R}\Rightarrow R L R \stackrel{R\epsilon}\Rightarrow R

su identitete id Lid_L i id Rid_R, respektivno. Ti uvjeti se obi?no crtaju kao trokuti.

Kažemo i da je 1-∞elija LL lijevo adjungirana 1-∞eliji RR.

Monade i komonade

Monada T=(a,T,μ,η)\mathbf{T} = (a,T,\mu,\eta) u 2-kategoriji AA sastoji se od endo-1-∞elije (tj. ?elije s istom domenom i kodomenom) T:aaT: a\to a i dva ?elija μ:TTT\mu: T\circ T\to T i η:id aT\eta : id_a\to T tako da vrijede aksiomi asocijativnosti za μ\mu i identite za η\eta u odnosu na μ\mu, tj. dijagrami

komutiraju. Komonada u AA je monada u kategoriji A op opA^{op}_{op}, tj. u 2-kategoriji u kojoj okrenemo i 1-∞elije i 2-∞elije.

Svaka adjunkcija generira i monadu i komonadu.

Simplicijalni objekti od komonada

Svaka monada T=(aTa,μ,η)\mathbf{T}=(a\stackrel{T}\rightarrow a,\mu,\eta) u 2-kategoriji AA definira augmentirani kosimplicijalni objekt u 1-kategoriji ℰ𝓃𝒹(a)\mathcal{End}(a) ?iji objekti su endo-1-∞elije aaa\to a, a morfizmi 2-∞elije me?u njima. Npr. u slu?aju A=CatA = Cat (promatrana kao 2-kategorija) dobijemo augmentirani kosimplicijalni endofunktor. Za monadu ?ija endo-1-∞elija je T:aaT:a\to a kažemo da je monada na aa; tako u slu?aju A=CatA = Cat, svaka monada u CatCat je monada na nekoj kategoriji aa iz CatCat.

Recept za kosimplicijalni objekt je potpuno formalan: dan je augmentacijom η:IdT \eta:Id\to \mathbf{T}^\bullet gdje je X=T X = \mathbf{T}^\bullet kosimplicijalna 1-∞elija dana s X n=TTT=T n+1X_n = T\circ T\circ \ldots \circ T = T^{n+1} i i= n i=T iηT ni:X n1=T nT n+1=X n\partial^i = \partial^i_n = T^i \eta T^{n-i}:X_{n-1} = T^n \to T^{n+1} = X_n, σ n i=σ i=T iμT ni:X n+1=T n+2T n+1=X n\sigma^i_n = \sigma^i = T^i \mu T^{n-i} : X_{n+1} = T^{n+2}\to T^{n+1} = X^n. Direktno se provjeri (zadatak 10) da su zadovoljeni kosimplicijalni identiteti.

Sli?no svaka komonada generira augmentirani simplicijalni objekt u kategoriji endo-1-∞elija ℰ𝓃𝒹(a)\mathcal{End}(a).

Last revised on April 4, 2012 at 20:49:22. See the history of this page for a list of all contributions to it.