Zoran Skoda zadarmat4k12017

Na testu u srijedu 24. svibnja 2017. neće biti zadataka, samo teorija (uglavnom definicije pojmova i postupaka).

$0.$ Simetrija je operacija na nekom objektu koja čuva pri tome neka unaprijed zadana bitna svojstva objekta.

$1.$ što je to algebarska operacija, algebarska struktura, parcijalna algebarska operacija, parcijalna algebarska struktura, binarna, algebarska struktura. U definiciji se koristi pojam $n$-arne relacije na skupu $A$ (a pri tome se koristi pojam uređene $n$-torke) i pojam funkcije.

$2.$ Znati definicije vrsta algebarskih struktura koje smo učili. Binarne su bile magma, polugrupa, monoid, grupa, komutativna (Abelova) grupa. Pridjev multiplikativna kod binarne algebarske strukture znači da označavamo operaciju kao nekakvo množenje, a aditivna da označavamo kao nekakvo zbrajanje. To ne znači da je Abelova. Algebarske strukture s dvije operacije bile su prsten, prsten bez djelitelja nule, tijelo, polje, komutativni prsten. Polje je komutativni prsten.

$3.$ Znati definirati svojstva zatvorenost na neku algebarsku operaciju, lijevi neutralni element, desni neutralni element, neutralni element, asocijativnost (binarna algebarska struktura $(A,\cdot)$ je asocijativna ako za svaka tri elementa $a,b,c\in A$ vrijedi $a\cdot (b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c$), komutativnost, postojanje lijevog inverza, postojanje desnog inverza, obostrani inverz, djelitelj nule u prstenu, distributivnost množenja prema zbrajanju slijeva, distributivnost množenja prema zbrajanju slijeva.

$4.$ Definicija homomorfizma grupa (kad je funkcija $f:G\to H$ homomorfizam grupa), homomorfizma prstena. Izomorfizam je homomorfizam koji je ujedno i injekcija. Definicija podgrupe. Definicija normalne podgrupe. Definicija lijeve susjedne klase. Definicija desne susjedne klase. Definicija lijevog kvocijentnog skupa grupe po podgrupi. Definicija lijeve kvocijentne grupe grupe po normalnoj podgrupi.

$5.$ Što je to permutacija (bijekcija skupa na samog sebe)? Koliko ima permutacija skupa s $n$ elemenata ($n$ faktorijel, dakle $n!$). Grupa permutacija: operacija u grupi je kompozicija.

$6.$ Neke osnovne činjenice o grupama: Cayleyev teorem: svaka grupa izomorfna je podgrupi grupe permutacija. Cayleyeva tablica je tablica množenja u grupi, u svakom retku i svakom stupcu se svaki element grupe pojavljuje točno jednom, ako je Cayleyeva tablica simetrična s obzirom na glanu dijagonalu onda je grupa komutativna. Lagrangeov teorem: ako je $G$ konačna grupa i $H$ njena podgrupa tada svaka susjedna klasa ima onoliko elemenata koliko i $H$ pa je kardinalitet grupe višekratnik kardinaliteta podgrupe. Ako u asocijativnoj binarnoj strukturi postoji lijevi i desni inverz onda su oni jednaki. U prstenu nula (neutralni element s obzirom na zbrajanje) pomnožen s bilo kojim elementom daje nulu.

$7.$ Osnovni brojevni sustavi: definicije skupova prirodnih, cijelih, racionalnih, realnih, kompleksnih brojeva i algebarskih operacija na njima. Kardinalni i ordinalni brojevi (za to je potrebni pojmovi relacije ekvivalencije i uređaja. Sljedbenik prirodnog broja. Princip matematičke indukcije. Definiranje operacija rekurzijom (zbrajanje pomoću brojenja, množenja pomoću zbrajanja, potenciranja pomoću množenja). Što je to razlika dva prirodna broja. Operacije na cijelim brojevima pomoću operacija na prirodnim brojevima i uzimanja apsolutne vrijednosti. Dijeljenje prirodnih brojeva s ostatkom. Razlika između razlomaka kao uređenih parova cijelih brojeva i racionalnih brojeva kao klasa ekvivalencije. Uređaj na skupu racionalnih brojeva. Decimalni brojevi. Realni brojevi. Operacije na kompleksnim brojevima.

Tijelo kvaterniona i grupa kvaterniona.

$8.$ Osnovni pojmovi o vektorskim prostorima, pogledajte stranicu vektorski prostor, dakle definicija vektorskog prostora, linearni operator, linearna kombinacija vektora, linearno nezavisan skup vektora, linearno zavisan skup vektora, linearna ljuska skupa vektora, skup izvodnica vektorskog prostora, baza vektorskog prostora, dimenzija vektorskog prostora, konačno dimenzionalan vektorski prostor.

category: zadarmat4