Zoran Skoda zadarmat3

Akademska godina 2023/2024.

moodle/merlin:mat3 2023/24, mat3 2022/23

Zapis predavanja online 22.12.2022. pdf (sustavi jednadžbi i jednadžba ravnine).

Primjeri za vježbu i testovi iz prijašnjih godina su na poveznicama na stranici zadarmat3 testovi.

Gradivo obuhvaća

• ponavljanje osnovnih činjenica o realnim brojevima odnosno o uređenom polju realnih brojeva $\mathbf{R}$

• uvod u funkcije realne varijable: definicija funkcije realne varijable (to su funkcije s podskupa skupa realnih brojeva u podskup skupa realnih brojeva), određivanje domene i kodomene, nule (nultočke) funkcije, parne i neparne funkcije (realna funkcija $f$ je parna ako za svaki $x$ iz njene domene $-x$ je također u njenoj domeni i vrijedi $f(-x) = f(x)$, a neparna ako vrijedi $f(-x) = -f(x)$), periodičke funkcije (nekonstantna funkcija $f$ definirana na cijelom skupu realnih brojeva $\mathbb{R}$ je periodička ako postoji pozitivni realni broj $T\gt 0$, kojeg zovemo periodom funkcije $f$, takav da za svaki $x\in\mathbb{R}$ vrijedi $f(x+T) = f(x)$), omeđene i neomeđene funkcije, primjeri periodičkih, omeđenih, neomeđenih, parnih i neparnih funkcija, graf funkcije (vidi pod funkcija), graf inverzne funkcije (dobije se od grafa of početne funkcije osnom simetrijom s obzirom na simetralu prvog i trećeg kvadranta, tj. s obzirom na pravac $x = y$). Kratki osvrt na implicitno zadane funkcije i pojam parametrizirane krivulje.

• linearne, afine i kvadratne funkcije, dopunjavanje do na kvadrat, drugi korijen, kvadratna jednadžba, parabola, tjeme parabole, kvadratna nejednadžba

• kompleksni brojevi se normalno uvode u Matematici 1, i ponovno susreću u Matematici 3 i Matematici 4. Kako se u 2019/20 u Matematici 1 nisu stigli obraditi, taj dio gradiva iz matematike 1 se ovdje uči, motiviran kvadratnom jednadžbom, te ponovno kasnije kod trigonometrijskog (polarnog) zapisa, u sklopu rada na trigonometrijskim funkcijama.

• potencija na realnog broja na cijeli broj. Pomoću množenja rekurzijom definiramo potenciranje prirodnog broja prirodnim brojem ili nulom. Naime, za svaki realni broj $a\neq 0$, prvo definiramo potencije $a^0 = 1$ i $a^1 = a$, i uvedemo rekurzivnu relaciju $a^{n+1} = a^n \cdot a$ za svaki $n\in\mathbb{N}$. Dakle, $a^2 = a^1 \cdot a = a \cdot a$, $a^3 = a^2 \cdot a = (a\cdot a)\cdot a$ itd. Poslije toga proširimo definiciju na definiciju potencije realnog broja na ma koji cijeli broj, naime definiciju za negativne brojeve dobijemo od pozitivnih koristeći formulu $a^{-n} = a^n$.

• polinomi, osnovni teorem algebre

• racionalne funkcije (funkcije koje se daju napisati kao omjer dviju polinomijalnih funkcija), definicija, graf racionalne funkcije, domena, kodomena, horizontalne, vertikalne i kose asimptote, rastav na parcijalne razlomke

• $n$-ti korijen kao inverzna funkcija funkcije potenciranja na $n$. Identificiramo $n$-ti korijen s $a^{1/n} = {}^n\sqrt{a}$. Kombiniramo potencije na $n$ i na $1/m$ tako da dobijemo potenciju pozitivnog realnog broja na ma koji racionalni broj, naime $x^{n/m} = (x^n)^{1/m}$. Nadalje racionalnim brojevima aproksimiramo realni broj i pomoću aproksimacija dolazimo do opće potencije $x\mapsto x^a$ za proizvoljni fiksni realni broj $a$ (eksponent potencije)

• pojam algebarske funkcije (kombinacije polinoma i korijena, npr. funkcije s kvadratnim i kubnim iracionalitetom)

• trigonometrijske funkcije, inverzne trigonometrijske funkcije

• eksponencijalna funkcija $x\mapsto a^x$ s bazom $a\in\mathbb{R}_+$ (domena cijeli skup realnih brojeva $\mathbb{R}$), poseban slučaj kad je $a = e = 2.7182818...$ (Eulerov broj, baza prirodnog logaritma). Osnovna svojstva ekponencijalne funkcije (najvažnije $a^{x+x'} = a^x \cdot a^{x'}$), graf i primjene eksponencijalne funkcije.

• logaritam, logaritamska funkcija

• pojam elementarne funkcije

• sustavi više linearnih jednadžbi, naročito Gaussova metoda rješavanja pomoću svođenja na trokutasti oblik matrice sustava

• nejednadžbe, grafičko rješavanje u slučaju dviju varijabli

• vektori u 2 i 3 dimenzije, skalarni umnožak i vektorski produkt vektora

• pravokutni koordinatni sustav u euklidskoj ravnini i prostoru, jednadžbe pravaca, ravnina, kružnice i sfere

• matrice nad realnim i nad kompleksnim brojevima

• matrica rotacije

• determinanta matrice i Cramerovo pravilo

• analitička geometrija, analiticki zadaci, parametrizacije u geometriji, projekcije analitički

Koristimo i malo slobodnog softwarea, ponajviše sustav Geogebra i sustav SageMath.

Neke temeljne nazive u matematici na hrvatskom jeziku možete naći u Struni http://struna.ihjj.hr. Korisna je i knjiga (glave 5 i 6)

• K. Horvatić, Linearna algebra, Tehnička knjiga 2005 (integralno izdanje bazirano na K. Horvatić, Linearna algebra I, II, SN liber 1986; te kao skripta PMF, Zagreb, više izdanja do 1999)

Neki od pojmova iz Matematike 1 koji su i dalje potrebni: funkcija, uređaj, relacija ekvivalencije, slika funkcije, skup, graf funkcije; i naravno znanje brojevnih sustava.

Iz Matematike 2 trebat će nam vektori i koordinatni sustav. Geometrija u M.2 se radila aksiomatski. U dijelu ovog kolegija uvest će se naprednije operacije s vektorima i matrice (s kojima će se raditi i u M.4).

Na koledžima u SAD-u slično gradivo o realnim funkcijama, trigonometriji i kompleksnim brojevima se obrađuje u okviru kolegija Precalculus.

• David Lippman, Melonie Rasmussen, Precalculus, an investigation of functions, pdf – prvih 6 glava (od 9) prilično sliči prvoj polovici kolegija Matematika 3 i ima niz primjera i zadataka . Glava 8 ima preklopa s nekim temama u drugoj polovici kolegija Matematika 3.

M1-M4

Ovo je treći semestar 4-semestralnog programa iz matematike. Nakon toga dolazi na višim godinama metodika matematike.

Ugrubo Matematika 1: skupovi, funkcije, relacije, BROJEVNI sustavi (prirodni, racionalni, realni, kompleksni brojevi)

Matematika 2: elementarna geometrija

Matematika 3: elementarne funkcije (polinomi, racionalne funkcije, algebarski izrazi, eksponencijalna, logaritamska, trigonometrijske i inverzne trigonometrijske funkcije…) te vektori i matrice nad realnim ili kompleksnim brojevima, uglavnom u dimenzijama 2 i 3

Matematika 4: algebarske strukture, grupe, polja, polinomi, permutacije, malo vektorskih prostora nad bilo kojim poljem

Iz izvedbenog plana

1. Ponavljanje realnih brojeva. Funkcije realne varijable. Parne, neparne, periodičke, omeđene i neomeđene funkcije. Domena kompozicije funkcija.

2. Kompleksni brojevi (jer nisu obrađeni u matematici 1 u 2019/2020)

3. Graf funkcije. Nultočke, maksimumi i minimumi funkcija. Linearne, afine i kvadratne funkcije. Intuitivni pojam nagiba grafa funkcije, tangente i linearizacije neprekidne funkcije. Linearna jednadžba i metoda supstitucije kod sustav od dvije linearne jednadžbe.

4. Grafička metoda za rješavanje sustava linearnih nejednadžbi u dvije varijable. Kvadratna i bikvadratna jednadžba. Parabola. Dopuna na kvadrat i drugi položaji parabole. Par riječi o pojmu elipse i pojavama kvadrika u prirodi.

5. Graf inverzne funkcije. n-ta potencija i n-ti korijen. Polinomi i polinomijalne funkcije nad realnim i kompleksnim brojevima. Dijeljenje polinoma, osnovni teorem algebre.

6. Racionalne funkcije. Određivanje domene i kodomene. Asimptote. Skica grafa funkcije. Ukoliko vrijeme dopušta, rastav na parcijalne razlomke.

7. Algebarske funkcije. Opća potencija i eksponencijalna funkcija. Primjene eksponencijalne funkcije.

8. Logaritam. Trigonometrijske funkcije I.

9. Trigonometrijske funkcije II i njihove inverzne funkcije. Polarne koordinate u ravnini. Polarni prikaz kompleksnog broja. Geogebra u 2d prikazu.

10. Vektori u 2 i 3 dimenzije. Zbrajanje vektora i množenje sa skalarom. Duljina vektora, komponente vektora. Koordinatni sustav u ravnini i prostoru. Pravci i ravnine u analitičkom prikazu. Parametarska jednadžba krivulje.

11. Jednadžba kružnice i kugle. Smjer i smisao vektora. Skalarni, vektorski i mješoviti umnožak vektora i njihova geometrijska interpretacija. Geogebra u 3d prikazu. Volumeni jednostavnih tijela.

12. Matrice: djelovanje na vektore, množenje kao kompozicija transformacija. Linearni sustavi: Gaussova metoda eliminacije. Matrični prikaz sustava.

13. Primjene linearnih sustava i diskusija rješenja. Geometrijska interpretacija.

14. Rotacije, translacije i dilatacije u koordinatnom sustavu u ravnini. Usporedba s aksiomatikom planimetrije iz Matematike 2.

15. Prikazi tijela, 3d krivulja i ploha u geogebri. Mješoviti primjeri iz analitičke geometrije.

Svaka jedinica se odnosi na dva sata predavanja i jedan sat vježbi iz istog gradiva.

category: zadarmat3